已知 a n =(2n-1) 3 n ，求前 n 项和 T n 。 T n =(n-1)3 n+1 +3 错位相减错位相减等差乘等比公比不为2 全国乙卷 2022

Question

已知 a n =(2n-1) 3 n ，求前 n 项和 T n 。 T n =(n-1)3 n+1 +3 错位相减 错位相减 等差乘等比 公比不为2 全国乙卷 2022

Accepted Answer

T_{n} = (n - 1) 3^{n + 1} + 3

T_{n} = 1 \cdot 3 + 3 \cdot 3^{2} + 5 \cdot 3^{3} + \dots + (2 n - 1) 3^{n}

。两边乘

3

：

3 T_{n} = 1 \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{3} + \dots + (2 n - 3) 3^{n} + (2 n - 1) 3^{n + 1}

。作差

T_{n} - 3 T_{n}

：

- 2 T_{n} = 3 + 2 (3^{2} + 3^{3} + \dots + 3^{n}) - (2 n - 1) 3^{n + 1}

。括号内等比求和：

3^{2} + \dots + 3^{n} = \frac{9 ( 3 ^{n - 1} - 1 )}{2} = \frac{3 ^{n + 1} - 9}{2}

，代入得

- 2 T_{n} = 3 + (3^{n + 1} - 9) - (2 n - 1) 3^{n + 1}

。整理：

- 2 T_{n} = - 6 + (2 - 2 n) 3^{n + 1}

，故

T_{n} = 3 + (n - 1) 3^{n + 1}

。

2022 年全国乙卷·第19题