2024 年全国甲卷·第1题

分步解析

1. 1解法一（先求 $z$）：$z=\frac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}+2}{2}=1+\mathrm{i}$，故 $|z|=\sqrt{2}$。
2. 2解法二（模的性质，更快）：对 $(1+\mathrm{i})z=2\mathrm{i}$ 两边取模，得 $|1+\mathrm{i}|\cdot |z|=|2\mathrm{i}|$。
3. 3即 $\sqrt{2}|z|=2$，所以 $|z|=\sqrt{2}$，选 B。