复数

1. 1解法一（先求 $z$）：$z=\frac{2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{2\mathrm{i}(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}=\frac{2\mathrm{i}+2}{2}=1+\mathrm{i}$，故 $|z|=\sqrt{2}$。
2. 2解法二（模的性质，更快）：对 $(1+\mathrm{i})z=2\mathrm{i}$ 两边取模，得 $|1+\mathrm{i}|\cdot |z|=|2\mathrm{i}|$。
3. 3即 $\sqrt{2}|z|=2$，所以 $|z|=\sqrt{2}$，选 B。

点评凡是只问模不问复数本身，一律用 $|z_1{z}_2|=|z_1||z_2|$ 两边取模，省掉分母实数化。

1. 1去分母：由 $\frac{z}{z-1}=1+\mathrm{i}$ 得 $z=(1+\mathrm{i})(z-1)$。
2. 2展开并移项：$z=(1+\mathrm{i})z-(1+\mathrm{i})$，即 $z-(1+\mathrm{i})z=-(1+\mathrm{i})$，$-\mathrm{i}z=-(1+\mathrm{i})$。
3. 3解得 $z=\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})\cdot (-\mathrm{i})}{\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i})}=\frac{-\mathrm{i}+1}{1}=1-\mathrm{i}$。
4. 4回代检验：$z-1=-\mathrm{i}$，$\frac{1-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i})\mathrm{i}}{-\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}+1}{1}=1+\mathrm{i}$，成立，选 C。

点评选择题也可直接代入四个选项验证，比解方程更快且不会出符号错误。

1. 1分母实数化：$z=\frac{2(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{2+2\mathrm{i}}{2}=1+\mathrm{i}$。
2. 2复数 $a+b\mathrm{i}$ 对应点 $(a,b)$，本题对应点为 $(1,1)$。
3. 3横纵坐标均为正，位于第一象限，选 A。

点评判断象限只需实部虚部的符号，不必化到最简，本题看出分子分母同号即可。

1. 1分母实数化：$z=\frac{(1-\mathrm{i})(2-2\mathrm{i})}{(2+2\mathrm{i})(2-2\mathrm{i})}=\frac{2-2\mathrm{i}-2\mathrm{i}+2{\mathrm{i}}^2}{4+4}=\frac{-4\mathrm{i}}{8}=-\frac{1}{2}\mathrm{i}$。
2. 2写出共轭：$\bar{z}=\frac{1}{2}\mathrm{i}$。
3. 3作差：$z-\bar{z}=-\frac{1}{2}\mathrm{i}-\frac{1}{2}\mathrm{i}=-\mathrm{i}$，选 A。

点评记住结论 $z-\bar{z}=2b\mathrm{i}$（$b$ 为虚部），本题算出虚部 $-\frac{1}{2}$ 后可直接得 $-\mathrm{i}$。

1. 1先展开：$(a+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})=a-a\mathrm{i}+\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2=(a+1)+(1-a)\mathrm{i}$。
2. 2纯虚数要求「实部为 $0$ 且虚部不为 $0$」：由 $a+1=0$ 得 $a=-1$。
3. 3检验虚部：此时 $1-a=2\ne 0$，符合，故 $a=-1$，选 A。

点评纯虚数必须同时满足虚部非零，只写实部为零是本题最常见的扣分点。

1. 1由 $\mathrm{i}(1-z)=1$ 得 $1-z=\frac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}$。
2. 2所以 $z=1+\mathrm{i}$，$\bar{z}=1-\mathrm{i}$。
3. 3求和：$z+\bar{z}=2$，选 D。

点评$z+\bar{z}=2a$（$a$ 为实部），只要看出实部是 $1$ 就能直接答 $2$。

1. 1设 $z=a+b\mathrm{i}$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$。
2. 2代入原式：$(a+b\mathrm{i})+2(a-b\mathrm{i})=3a-b\mathrm{i}$。
3. 3由复数相等（实部与实部、虚部与虚部分别相等）得 $3a=3$，$-b=-1$。
4. 4解得 $a=1$，$b=1$，故 $z=1+\mathrm{i}$。

点评同时出现 $z$ 与 $\bar{z}$ 时，设代数形式是唯一稳妥的通法。

1. 1先求共轭：$\bar{z}=2+\mathrm{i}$，于是 $\bar{z}+\mathrm{i}=2+2\mathrm{i}$。
2. 2再作乘法：$z(\bar{z}+\mathrm{i})=(2-\mathrm{i})(2+2\mathrm{i})=4+4\mathrm{i}-2\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2$。
3. 3利用 ${\mathrm{i}}^2=-1$：原式 $=4+2\mathrm{i}+2=6+2\mathrm{i}$，选 C。

1. 1把复数的模翻译成距离：$|z-1|$ 是点 $Z$ 到 $A(1,0)$ 的距离，$|z+\mathrm{i}|=|z-(-\mathrm{i})|$ 是点 $Z$ 到 $B(0,-1)$ 的距离。
2. 2条件即 $|ZA|=|ZB|$，说明 $Z$ 到两定点距离相等。
3. 3由垂直平分线的定义，轨迹是线段 $AB$ 的垂直平分线，选 B。
4. 4补充验证：设 $z=x+y\mathrm{i}$，则 $(x-1{)}^2+y^2=x^2+(y+1{)}^2$，化简得 $y=-x$，正是 $AB$ 的垂直平分线。

点评复数模的几何意义是解析化的入口：$|z-z_0|$ 一律读作「到定点的距离」。

1. 1先算平方：$(1-\mathrm{i}{)}^2=1-2\mathrm{i}+{\mathrm{i}}^2=1-2\mathrm{i}-1=-2\mathrm{i}$。
2. 2再平方一次：$(1-\mathrm{i}{)}^4=(-2\mathrm{i}{)}^2=4{\mathrm{i}}^2=-4$。
3. 3选 A。

点评$(1\pm \mathrm{i}{)}^2=\pm 2\mathrm{i}$ 是必须背下来的两个结论，高次幂一律先降到平方。