2024 年新课标I卷·第2题

分步解析

1. 1去分母：由 $\frac{z}{z-1}=1+\mathrm{i}$ 得 $z=(1+\mathrm{i})(z-1)$。
2. 2展开并移项：$z=(1+\mathrm{i})z-(1+\mathrm{i})$，即 $z-(1+\mathrm{i})z=-(1+\mathrm{i})$，$-\mathrm{i}z=-(1+\mathrm{i})$。
3. 3解得 $z=\frac{1+\mathrm{i}}{\mathrm{i}}=\frac{(1+\mathrm{i})\cdot (-\mathrm{i})}{\mathrm{i}\cdot (-\mathrm{i})}=\frac{-\mathrm{i}+1}{1}=1-\mathrm{i}$。
4. 4回代检验：$z-1=-\mathrm{i}$，$\frac{1-\mathrm{i}}{-\mathrm{i}}=\frac{(1-\mathrm{i})\mathrm{i}}{-\mathrm{i}\cdot \mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}+1}{1}=1+\mathrm{i}$，成立，选 C。