2024 年全国甲卷·第20题

分步解析

1. 1设 $l:y=kx+1$，联立得 $(1+4k^2)x^2+8kx=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{-8k}{1+4k^2}$。
2. 2注意到直线过椭圆上的点 $(0,1)$，故 $A(0,1)$ 为定点，$B$ 的横坐标为 $x_B=\frac{-8k}{1+4k^2}$。
3. 3以 $OA$ 为底（长为 $1$），高为 $|x_B|$，面积 $S=\frac{1}{2}|x_B|=\frac{4|k|}{1+4k^2}$。
4. 4由基本不等式 $1+4k^2\ge 4|k|$，故 $S\le \frac{4|k|}{4|k|}=1$，当 $4k^2=1$ 即 $k=\pm \frac{1}{2}$ 时取等。
5. 5故面积最大值为 $1$。