2023 年新课标I卷·第21题

分步解析

1. 1设 $A\left(\frac{y_1^2}{4},y_1\right)$，$B\left(\frac{y_2^2}{4},y_2\right)$。
2. 2由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 得 $\frac{y_1^2{y}_2^2}{16}+y_1{y}_2=0$，因 $y_1{y}_2\ne 0$，两边除以 $y_1{y}_2$ 得 $\frac{y_1{y}_2}{16}=-1$，即 $y_1{y}_2=-16$。
3. 3设直线 $AB$ 为 $x=my+t$，代入 $y^2=4x$ 得 $y^2-4my-4t=0$，由韦达定理 $y_1{y}_2=-4t$。
4. 4由 $-4t=-16$ 得 $t=4$，即直线为 $x=my+4$。
5. 5无论 $m$ 取何值，该直线都经过点 $(4,0)$，命题得证。