圆锥曲线综合 定点定值

1. 1设 $l:y=kx+1$，联立得 $(1+4k^2)x^2+8kx=0$，解得 $x=0$ 或 $x=\frac{-8k}{1+4k^2}$。
2. 2注意到直线过椭圆上的点 $(0,1)$，故 $A(0,1)$ 为定点，$B$ 的横坐标为 $x_B=\frac{-8k}{1+4k^2}$。
3. 3以 $OA$ 为底（长为 $1$），高为 $|x_B|$，面积 $S=\frac{1}{2}|x_B|=\frac{4|k|}{1+4k^2}$。
4. 4由基本不等式 $1+4k^2\ge 4|k|$，故 $S\le \frac{4|k|}{4|k|}=1$，当 $4k^2=1$ 即 $k=\pm \frac{1}{2}$ 时取等。
5. 5故面积最大值为 $1$。

点评面积表达式化成关于 $k$ 的分式后，分子分母同除以 $|k|$ 再用基本不等式，是解几最值题的标准收尾动作。

1. 1联立并消去 $y$：$\frac{x^2}{4}+(kx+1{)}^2=1$，整理得 $(1+4k^2)x^2+8kx=0$。
2. 2由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{-8k}{1+4k^2}$，$x_1{x}_2=0$。
3. 3计算数量积：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，其中 $y_1{y}_2=(k{x}_1+1)(k{x}_2+1)=k^2{x}_1{x}_2+k(x_1+x_2)+1$。
4. 4代入：$y_1{y}_2=0+k\cdot \frac{-8k}{1+4k^2}+1=\frac{-8k^2+1+4k^2}{1+4k^2}=\frac{1-4k^2}{1+4k^2}$。
5. 5故 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0+\frac{1-4k^2}{1+4k^2}=\frac{1-4k^2}{1+4k^2}$。

点评解析几何大题的骨架：设线 → 联立 → 韦达 → 把目标式化成 $x_1+x_2$ 与 $x_1{x}_2$ 的表达式，绝不解出根本身。

1. 1设 $P(x,y)$，由斜率存在要求 $x\ne \pm 2$。
2. 2列式：$\frac{y}{x+2}\cdot \frac{y}{x-2}=-\frac{3}{4}$，即 $\frac{y^2}{x^2-4}=-\frac{3}{4}$。
3. 3去分母：$4y^2=-3(x^2-4)=12-3x^2$，整理为 $3x^2+4y^2=12$。
4. 4两边除以 $12$：$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，且需去掉 $x=\pm 2$ 两点。

点评求轨迹方程务必写明「限制条件」：去掉使斜率不存在或退化的点，这是解答题固定的扣分点。

1. 1设 $A\left(\frac{y_1^2}{4},y_1\right)$，$B\left(\frac{y_2^2}{4},y_2\right)$。
2. 2由 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$ 得 $\frac{y_1^2{y}_2^2}{16}+y_1{y}_2=0$，因 $y_1{y}_2\ne 0$，两边除以 $y_1{y}_2$ 得 $\frac{y_1{y}_2}{16}=-1$，即 $y_1{y}_2=-16$。
3. 3设直线 $AB$ 为 $x=my+t$，代入 $y^2=4x$ 得 $y^2-4my-4t=0$，由韦达定理 $y_1{y}_2=-4t$。
4. 4由 $-4t=-16$ 得 $t=4$，即直线为 $x=my+4$。
5. 5无论 $m$ 取何值，该直线都经过点 $(4,0)$，命题得证。

点评定点问题的通法：把直线设为 $x=my+t$，用条件解出 $t$ 为常数，则定点为 $(t,0)$；设成 $y=kx+b$ 会漏掉斜率不存在的情形。

1. 1直线过点 $(1,0)$，恰为抛物线焦点，可用焦点弦公式 $|AB|=x_1+x_2+p$，其中 $p=2$。
2. 2联立消 $y$：$k^2(x-1{)}^2=4x$，整理得 $k^2{x}^2-(2k^2+4)x+k^2=0$（$k\ne 0$）。
3. 3由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}$。
4. 4代入弦长条件：$\frac{2k^2+4}{k^2}+2=8$，即 $\frac{2k^2+4}{k^2}=6$，得 $2k^2+4=6k^2$，$k^2=1$。
5. 5故 $k=\pm 1$。

1. 1以 $OA$ 为底，$|OA|=2$，则面积 $S=\frac{1}{2}\times 2\times |y_P|=|y_P|$。
2. 2点 $P$ 在椭圆上，纵坐标满足 $|y_P|\le b=\sqrt{3}$。
3. 3当 $P$ 取短轴端点 $(0,\pm \sqrt{3})$ 时 $|y_P|$ 最大。
4. 4故面积最大值为 $\sqrt{3}$。

点评底边固定在坐标轴上时，面积只取决于另一点到该轴的距离，直接用椭圆的取值范围即可，不必设直线。

1. 1椭圆焦点弦长公式：若弦与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，则 $|AB|=\frac{2a{b}^2}{a^2-c^2{\cos }^2\theta }$。本题 $a=2$，$b^2=3$，$c=1$，故 $|AB|=\frac{12}{4-{\cos }^2\theta }$。
2. 2$CD$ 与 $AB$ 垂直，其倾斜角为 $\theta +\frac{\pi }{2}$，故 $|CD|=\frac{12}{4-{\sin }^2\theta }$。
3. 3求和：$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{4-{\cos }^2\theta }{12}+\frac{4-{\sin }^2\theta }{12}$。
4. 4由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 得和为 $\frac{8-1}{12}=\frac{7}{12}$，与 $\theta$ 无关，为定值。

点评两条互相垂直的焦点弦，其倒数和为定值——关键是把两条弦长写成同一个角 $\theta$ 的函数，再用平方关系消掉角。

1. 1「到定点距离等于到定直线距离」恰是抛物线的定义，其中定点为焦点、定直线为准线。
2. 2焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$，二者关于原点对称，故顶点在原点、开口向右。
3. 3由 $\frac{p}{2}=1$ 得 $p=2$，$2p=4$。
4. 4故轨迹方程为 $y^2=4x$。（也可设 $M(x,y)$ 直接列式 $\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x+1|$，平方化简得同一结果。）

点评轨迹问题先判断是否符合某个圆锥曲线的定义：符合就直接写方程，不符合再用坐标法「设点—列式—化简」。

1. 1联立消 $y$：$x^2+(x+m{)}^2=4$，整理得 $2x^2+2mx+m^2-4=0$。
2. 2由韦达定理：$x_1+x_2=-m$，$x_1{x}_2=\frac{m^2-4}{2}$。
3. 3$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2$，其中 $y_1{y}_2=(x_1+m)(x_2+m)=x_1{x}_2+m(x_1+x_2)+m^2$。
4. 4代入化简：$2x_1{x}_2+m(x_1+x_2)+m^2=(m^2-4)-m^2+m^2=m^2-4$。令其为 $0$ 得 $m=\pm 2$。
5. 5检验判别式：$\Delta =4m^2-8(m^2-4)=32-4m^2>0$ 要求 $m^2<8$，$m=\pm 2$ 满足，故 $m=\pm 2$。

点评解出参数后必须回代判别式检验直线与曲线确实有两个交点，这一步是解析几何解答题的必写环节。

1. 1设 $P(x_0,y_0)$，则 $\frac{x_0^2}{2}+y_0^2=1$，即 $y_0^2=1-\frac{x_0^2}{2}=\frac{2-x_0^2}{2}$。
2. 2两条斜率：$k_1=\frac{y_0}{x_0+\sqrt{2}}$，$k_2=\frac{y_0}{x_0-\sqrt{2}}$。
3. 3相乘：$k_1{k}_2=\frac{y_0^2}{x_0^2-2}$。
4. 4代入 $y_0^2$：$k_1{k}_2=\frac{(2-x_0^2)/2}{x_0^2-2}=-\frac{1}{2}$，为定值。

点评椭圆上一点与两顶点连线的斜率积恒为 $-\frac{b^2}{a^2}$，双曲线对应的是 $+\frac{b^2}{a^2}$，这是解几中最常用的定值结论。