已知椭圆 C: x 2 4 +y 2 =1 ，直线 l:y=kx+1 与 C 交于 A 、 B 两点。求 OA OB 关于 k 的表达式（ O 为坐标原点）。 OA OB = 1-4k 2 1+4k 2 韦达定理的运用韦达定理数量积联

Question

已知椭圆 C: x 2 4 +y 2 =1 ，直线 l:y=kx+1 与 C 交于 A 、 B 两点。求 OA OB 关于 k 的表达式（ O 为坐标原点）。 OA OB = 1-4k 2 1+4k 2 韦达定理的运用 韦达定理 数量积 联立消元 新课标I卷 2024

Accepted Answer

O A \cdot O B = \frac{1 - 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}}

联立并消去

y

：

\frac{x ^{2}}{4} + (k x + 1)^{2} = 1

，整理得

(1 + 4 k^{2}) x^{2} + 8 k x = 0

。由韦达定理：

x_{1} + x_{2} = \frac{- 8 k}{1 + 4 k ^{2}}

，

x_{1} x_{2} = 0

。计算数量积：

O A \cdot O B = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}

，其中

y_{1} y_{2} = (k x_{1} + 1) (k x_{2} + 1) = k^{2} x_{1} x_{2} + k (x_{1} + x_{2}) + 1

。代入：

y_{1} y_{2} = 0 + k \cdot \frac{- 8 k}{1 + 4 k ^{2}} + 1 = \frac{- 8 k ^{2} + 1 + 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}} = \frac{1 - 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}}

。故

O A \cdot O B = 0 + \frac{1 - 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}} = \frac{1 - 4 k ^{2}}{1 + 4 k ^{2}}

。

2024 年新课标I卷·第21题