已知 | a |=| b |=1 ，且 ( a + b ) ( a -2 b ) ，则 a b = （） 1 -1 1 2 - 1 2 B 数量积与夹角垂直条件数量积展开向量运算全国乙卷 2024

B 垂直转化为数量积为零： ( a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> + b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ) ⋅ ( a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> − 2 b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ) = 0 。展开： ∣ a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ∣ 2 − 2 a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ⋅ b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> + a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ⋅ b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 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9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> − 2∣ b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ∣ 2 = 0 。代入 ∣ a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ∣ = ∣ b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ∣ = 1 ： 1 − a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ⋅ b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> − 2 = 0 ，解得 a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ⋅ b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> = − 1 。检验：此时 cos θ = − 1 ，两向量反向， a <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> + b <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> = 0 <path d="M377 20c0-5.333 1.833-10 5.5-14S391 0 397 0c4.667 0 8.667 1.667 12 5 3.333 2.667 6.667 9 10 19 6.667 24.667 20.333 43.667 41 57 7.333 4.667 11 10.667 11 18 0 6-1 10-3 12s-6.667 5-14 9c-28.667 14.667-53.667 35.667-75 63 -1.333 1.333-3.167 3.5-5.5 6.5s-4 4.833-5 5.5c-1 .667-2.5 1.333-4.5 2s-4.333 1 -7 1c-4.667 0-9.167-1.833-13.5-5.5S337 184 337 178c0-12.667 15.667-32.333 47-59 H213l-171-1c-8.667-6-13-12.333-13-19 0-4.667 4.333-11.333 13-20h359 c-16-25.333-24-45-24-59z"/> ，而零向量与任意向量垂直，条件确实成立，选 B。

高考数学考点题库/平面向量/数量积与夹角

2024 年全国乙卷·第6题

单选题★★★☆☆ 中档改编题通法

已知

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1

，且

(a + b) ⊥ (a - 2 b)

，则

a \cdot b =

（　　）

1

- 1

\frac{1}{2}

- \frac{1}{2}

答案B

分步解析

1垂直转化为数量积为零： $(a + b) \cdot (a - 2 b) = 0$ 。
2展开： $∣ a ∣^{2} - 2 a \cdot b + a \cdot b - 2∣ b ∣^{2} = 0$ ，即 $∣ a ∣^{2} - a \cdot b - 2∣ b ∣^{2} = 0$ 。
3代入 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ ： $1 - a \cdot b - 2 = 0$ ，解得 $a \cdot b = - 1$ 。
4检验：此时 $cos θ = - 1$ ，两向量反向， $a + b = 0$ ，而零向量与任意向量垂直，条件确实成立，选 B。

点评向量式展开与多项式展开规则相同，但要记住

a \cdot a = ∣ a ∣^{2}

；出现零向量时需说明它与任意向量都垂直。

#垂直条件#数量积展开#向量运算

2024 年真题全国乙卷

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