在边长为 2 的正三角形 ABC 中， AB AC = ＿＿＿＿＿＿。 2 向量的几何应用数量积定义正三角形夹角北京卷 2023

2 两向量以 A 为公共起点，夹角即为正三角形的内角 6 0 ∘ 。由数量积定义： A B <path d="M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128 -16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85 -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z"/> ⋅ A C <path d="M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128 -16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85 -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z"/> = ∣ A B <path d="M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128 -16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85 -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z"/> ∣∣ A C <path d="M0 241v40h399891c-47.3 35.3-84 78-110 128 -16.7 32-27.7 63.7-33 95 0 1.3-.2 2.7-.5 4-.3 1.3-.5 2.3-.5 3 0 7.3 6.7 11 20 11 8 0 13.2-.8 15.5-2.5 2.3-1.7 4.2-5.5 5.5-11.5 2-13.3 5.7-27 11-41 14.7-44.7 39-84.5 73-119.5s73.7-60.2 119-75.5c6-2 9-5.7 9-11s-3-9-9-11c-45.3-15.3-85 -40.5-119-75.5s-58.3-74.8-73-119.5c-4.7-14-8.3-27.3-11-40-1.3-6.7-3.2-10.8-5.5 -12.5-2.3-1.7-7.5-2.5-15.5-2.5-14 0-21 3.7-21 11 0 2 2 10.3 6 25 20.7 83.3 67 151.7 139 205zm0 0v40h399900v-40z"/> ∣ cos 6 0 ∘ 。代入： 2 × 2 × 2 1 = 2 。

高考数学考点题库/平面向量/向量的几何应用

2023 年北京卷·第4题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

在边长为

2

的正三角形

A B C

中，

A B \cdot A C =

＿＿＿＿＿＿。

答案

2

分步解析

1两向量以 $A$ 为公共起点，夹角即为正三角形的内角 $6 0^{\circ}$ 。
2由数量积定义： $A B \cdot A C = ∣ A B ∣∣ A C ∣ cos 6 0^{\circ}$ 。
3代入： $2 \times 2 \times \frac{1}{2} = 2$ 。

点评求

A B \cdot B C

这类题要特别小心：夹角是把两向量平移到共起点后的角，

A B

与

B C

的夹角是

12 0^{\circ}

而非

6 0^{\circ}

。

#数量积定义#正三角形#夹角

2023 年真题北京卷

同考点推荐平面向量 · 向量的几何应用

第7题单选★★★★☆平面向量·向量的几何应用#向量模最值 #二次函数 #配方改编查看 →第6题单选★★★☆☆平面向量·数量积与夹角#垂直条件 #数量积展开 #向量运算改编查看 →第3题单选★★☆☆☆平面向量·数量积与夹角#数量积 #垂直 #夹角改编查看 →第3题单选★★☆☆☆平面向量·坐标运算#向量平行 #坐标运算改编查看 →

想按考点连续练习？前往平面向量专题页查看全部真题与解析。