平面向量

1. 1垂直转化为数量积为零：$(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{a}-2\vec{b})=0$。
2. 2展开：$|\vec{a}{|}^2-2\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{b}{|}^2=0$，即 $|\vec{a}{|}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}-2|\vec{b}{|}^2=0$。
3. 3代入 $|\vec{a}|=|\vec{b}|=1$：$1-\vec{a}\cdot \vec{b}-2=0$，解得 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$。
4. 4检验：此时 $\cos \theta =-1$，两向量反向，$\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$，而零向量与任意向量垂直，条件确实成立，选 B。

点评向量式展开与多项式展开规则相同，但要记住 $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2$；出现零向量时需说明它与任意向量都垂直。

1. 1计算数量积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 2+2\times (-1)=0$。
2. 2两个非零向量数量积为零，说明它们互相垂直。
3. 3故夹角为 $\frac{\pi }{2}$，选 C。

1. 1两向量以 $A$ 为公共起点，夹角即为正三角形的内角 $60^{\circ }$。
2. 2由数量积定义：$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\cos 60^{\circ }$。
3. 3代入：$2\times 2\times \frac{1}{2}=2$。

点评求 $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}$ 这类题要特别小心：夹角是把两向量平移到共起点后的角，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角是 $120^{\circ }$ 而非 $60^{\circ }$。

1. 1平行的坐标条件：$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$。
2. 2代入得 $1\cdot x-2\cdot 1=0$。
3. 3解得 $x=2$，选 A。

点评平行用「交叉相乘相等」，垂直用「对应相乘相加为零」，两个条件不要记混。

1. 1求模先平方：$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b}{)}^2=|\vec{a}{|}^2+2\vec{a}\cdot \vec{b}+|\vec{b}{|}^2$。
2. 2代入数值：$4+2\times 1+1=7$。
3. 3故 $|\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{7}$，选 B。

点评「求模先平方，算完再开方」是向量模运算的铁律，中间的 $2\vec{a}\cdot \vec{b}$ 项最容易漏掉。

1. 1先求数量积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times 2\times \cos \frac{\pi }{3}=1$。
2. 2平方展开：$|\vec{a}-t\vec{b}{|}^2=1-2t\cdot 1+4t^2=4t^2-2t+1$。
3. 3配方：$4{\left(t-\frac{1}{4}\right)}^2+\frac{3}{4}$，当 $t=\frac{1}{4}$ 时取最小值 $\frac{3}{4}$。
4. 4开方得最小值 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，选 A。

点评含参数的向量模最值，一律先平方化为关于参数的二次函数，再配方求最值，最后别忘记开方。

1. 1垂直的坐标条件：$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$。
2. 2代入：$2\times (-1)+1\times k=0$。
3. 3解得 $k=2$，选 A。

1. 1由 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DC}$ 知 $D$ 是 $BC$ 的三等分点，且 $\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$。
2. 2以 $A$ 为起点分解：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$。
3. 3再把 $\overrightarrow{BC}$ 化为基底：$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。
4. 4代入整理：$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，选 A。

点评基底表示的固定路线：先沿折线走到目标点，再把中途向量全部换成基底，系数之和为 $1$ 可用于检验。

1. 1数量积：$\vec{a}\cdot \vec{b}=1\times (-1)+\sqrt{3}\times 0=-1$。
2. 2两个模：$|\vec{a}|=\sqrt{1+3}=2$，$|\vec{b}|=1$。
3. 3由夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\frac{-1}{2\times 1}=-\frac{1}{2}$。

1. 1先求模：$|\vec{a}|=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
2. 2同向单位向量为 $\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$。
3. 3故为 $\left(\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right)$。