用长为 20 , m 的篱笆围成一个矩形菜地（一面靠墙，无需篱笆），求菜地面积的最大值。 50 , m 2 实际优化问题实际优化基本不等式定义域新课标II卷 2024

50 m 2 设垂直于墙的两边各长 x m ，则平行于墙的一边长为 ( 20 − 2 x ) m ，定义域为 0 < x < 10 。面积 S = x ( 20 − 2 x ) = 2 x ( 10 − x ) 。由基本不等式： x ( 10 − x ) ≤ ( 2 x + 10 − x ) 2 = 25 ，故 S ≤ 50 。当 x = 10 − x 即 x = 5 时取等，此时 x = 5 ∈ ( 0 , 10 ) 可行。故最大面积为 50 m 2 。

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2024 年新课标II卷·第16题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

用长为

20 m

的篱笆围成一个矩形菜地（一面靠墙，无需篱笆），求菜地面积的最大值。

答案

50 m^{2}

分步解析

1设垂直于墙的两边各长 $x m$ ，则平行于墙的一边长为 $(20 - 2 x) m$ ，定义域为 $0 < x < 10$ 。
2面积 $S = x (20 - 2 x) = 2 x (10 - x)$ 。
3由基本不等式： $x (10 - x) \leq (\frac{x + 10 - x}{2})^{2} = 25$ ，故 $S \leq 50$ 。
4当 $x = 10 - x$ 即 $x = 5$ 时取等，此时 $x = 5 \in (0, 10)$ 可行。
5故最大面积为 $50 m^{2}$ 。

点评应用题必写定义域：本题

0 < x < 10

保证了两边长度均为正，也保证了取等点

x = 5

确实可行。

#实际优化#基本不等式#定义域

2024 年真题新课标II卷

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