2024 年全国乙卷·第19题

分步解析

1. 1设高为 $h$，由容积 $x^{2}h=32$ 得 $h=\frac{32}{x^2}$，定义域 $x>0$。
2. 2无盖水箱表面积 $S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{32}{x^2}=x^2+\frac{128}{x}$。
3. 3求导：$S^{\prime }=2x-\frac{128}{x^2}=\frac{2x^3-128}{x^2}$，令其为零得 $x^3=64$，$x=4$。
4. 4当 $0<x<4$ 时 $S^{\prime }<0$、$x>4$ 时 $S^{\prime }>0$，故 $x=4$ 处取最小值。
5. 5此时 $S=16+32=48{\mathrm{m}}^2$。