数学建模与实际应用

1. 1设高为 $h$，由容积 $x^{2}h=32$ 得 $h=\frac{32}{x^2}$，定义域 $x>0$。
2. 2无盖水箱表面积 $S=x^2+4xh=x^2+4x\cdot \frac{32}{x^2}=x^2+\frac{128}{x}$。
3. 3求导：$S^{\prime }=2x-\frac{128}{x^2}=\frac{2x^3-128}{x^2}$，令其为零得 $x^3=64$，$x=4$。
4. 4当 $0<x<4$ 时 $S^{\prime }<0$、$x>4$ 时 $S^{\prime }>0$，故 $x=4$ 处取最小值。
5. 5此时 $S=16+32=48{\mathrm{m}}^2$。

点评三项以上或系数不便配凑时用导数比基本不等式稳妥；本题也可把 $\frac{128}{x}$ 拆成两个 $\frac{64}{x}$ 后用三元均值不等式。

1. 1设垂直于墙的两边各长 $x\mathrm{m}$，则平行于墙的一边长为 $(20-2x)\mathrm{m}$，定义域为 $0<x<10$。
2. 2面积 $S=x(20-2x)=2x(10-x)$。
3. 3由基本不等式：$x(10-x)\le {\left(\frac{x+10-x}{2}\right)}^2=25$，故 $S\le 50$。
4. 4当 $x=10-x$ 即 $x=5$ 时取等，此时 $x=5\in (0,10)$ 可行。
5. 5故最大面积为 $50{\mathrm{m}}^2$。

点评应用题必写定义域：本题 $0<x<10$ 保证了两边长度均为正，也保证了取等点 $x=5$ 确实可行。

1. 1打八折即按标价的 $80\%$ 计算：$200\times 0.8=160$（元）。
2. 2再立减 $20$ 元：$160-20=140$（元）。

点评「先打折后立减」与「先立减后打折」结果不同（后者为 $(200-20)\times 0.8=144$ 元），读题时必须看清顺序。

1. 1设需 $n$ 年，则 $(1+6\%{)}^n=2$，即 $1.06^n=2$。
2. 2两边取常用对数：$n\lg 1.06=\lg 2$。
3. 3代入数据：$n=\frac{0.301}{0.0253}\approx 11.9$。
4. 4故约需 $12$ 年，选 A。

点评指数增长问题一律「取对数把指数拿下来」；也可用估算口诀「$70$ 除以增长率百分数」得 $70/6\approx 11.7$，与精确解吻合。

1. 1以正北方向为基准：在 $A$ 处灯塔方位角 $60^{\circ }$，说明 $\angle SAB=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$（$AB$ 指向正东）。
2. 2在 $B$ 处方位角 $30^{\circ }$，说明 $\angle SBx=90^{\circ }-30^{\circ }=60^{\circ }$（$Bx$ 为 $B$ 处正东方向），故 $\angle SBA=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$。
3. 3于是 $\angle ASB=180^{\circ }-30^{\circ }-120^{\circ }=30^{\circ }$，$AB=20\mathrm{km}$。
4. 4由正弦定理：$\frac{SB}{\sin \angle SAB}=\frac{AB}{\sin \angle ASB}$，即 $\frac{SB}{\sin 30^{\circ }}=\frac{20}{\sin 30^{\circ }}$。
5. 5故 $SB=20\mathrm{km}$（三角形为等腰）。

点评方位角问题第一步永远是「把方位角翻译成三角形的内角」：北偏东 $\alpha$ 与正东方向的夹角是 $90^{\circ }-\alpha$，画图标注后再用正弦定理。

1. 1设山高为 $h$，山底为 $C$。在直角三角形 $PBC$ 中，$\angle PBC=45^{\circ }$，故 $BC=h$。
2. 2在直角三角形 $PAC$ 中，$\angle PAC=30^{\circ }$，故 $AC=\frac{h}{\tan 30^{\circ }}=\sqrt{3}h$。
3. 3由 $AC-BC=AB=100$ 得 $\sqrt{3}h-h=100$。
4. 4解得 $h=\frac{100}{\sqrt{3}-1}=\frac{100(\sqrt{3}+1)}{2}=50(\sqrt{3}+1)$（米）。

点评仰角问题优先在两个直角三角形中分别表示同一条边（本题是水平距离），再作差列方程，比用正弦定理更直接。

1. 1复利模型：本息 $=$ 本金 $\times (1+r{)}^n$。
2. 2代入：$10000\times (1+0.03{)}^2=10000\times 1.0609$。
3. 3计算得 $10609$ 元。

点评复利与单利的区别在于「利息是否再生息」：单利两年为 $10000(1+2\times 0.03)=10600$ 元，比复利少 $9$ 元。

1. 1利润 = 收入 − 成本：$L(x)=x(100-0.01x)-(2000+50x)$。
2. 2整理：$L(x)=100x-0.01x^2-2000-50x=-0.01x^2+50x-2000$。
3. 3这是开口向下的二次函数，对称轴 $x=-\frac{50}{2\times (-0.01)}=2500$。
4. 4故 $x=2500$ 件时利润最大，$L(2500)=-0.01\times 6250000+125000-2000=-62500+125000-2000=60500$（元）。

点评经济类应用题的模型基本都是二次函数：列出「收入 − 成本」后配方或用对称轴公式，注意产量须为非负整数。

1. 1全年运输次数为 $\frac{1000}{x}$，故运输费用总额为 $400\times \frac{1000}{x}=\frac{400000}{x}$（元）。
2. 2加上堆存费用，全年总费用为 $y=\frac{400000}{x}+40x$，定义域 $x>0$。
3. 3由基本不等式：$y\ge 2\sqrt{\frac{400000}{x}\cdot 40x}=2\sqrt{16000000}=2\times 4000=8000$。
4. 4取等条件：$\frac{400000}{x}=40x$，即 $x^2=10000$，$x=100$（负值舍去）。
5. 5故每次运量 $100$ 吨时全年总费用最低，为 $8000$ 元。

点评库存与运输类模型的共同结构是「固定费用÷批量 + 单位费用×批量」，恰好是基本不等式的标准形式，取等时两项相等。

1. 1这是指数衰减模型：$y=100\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^t$。
2. 2代入 $t=5$：$y=100\times \frac{1}{32}$。
3. 3计算得 $3.125\mathrm{mg}$，选 A。