高考数学考点题库/圆锥曲线综合定点定值/韦达定理的运用

2020 年全国I卷·第20题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

已知直线

y = x + m

与圆

x^{2} + y^{2} = 4

交于

A

、

B

两点，且

O A \cdot O B = 0

，求

m

的值。

答案

m = \pm 2

分步解析

1联立消 $y$ ： $x^{2} + (x + m)^{2} = 4$ ，整理得 $2 x^{2} + 2 m x + m^{2} - 4 = 0$ 。
2由韦达定理： $x_{1} + x_{2} = - m$ ， $x_{1} x_{2} = \frac{m ^{2} - 4}{2}$ 。
3 $O A \cdot O B = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2}$ ，其中 $y_{1} y_{2} = (x_{1} + m) (x_{2} + m) = x_{1} x_{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2}$ 。
4代入化简： $2 x_{1} x_{2} + m (x_{1} + x_{2}) + m^{2} = (m^{2} - 4) - m^{2} + m^{2} = m^{2} - 4$ 。令其为 $0$ 得 $m = \pm 2$ 。
5检验判别式： $Δ = 4 m^{2} - 8 (m^{2} - 4) = 32 - 4 m^{2} > 0$ 要求 $m^{2} < 8$ ， $m = \pm 2$ 满足，故 $m = \pm 2$ 。

点评解出参数后必须回代判别式检验直线与曲线确实有两个交点，这一步是解析几何解答题的必写环节。

#韦达定理#垂直条件#判别式检验

2020 年真题全国I卷

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