2022 年全国甲卷·第21题

分步解析

1. 1直线过点 $(1,0)$，恰为抛物线焦点，可用焦点弦公式 $|AB|=x_1+x_2+p$，其中 $p=2$。
2. 2联立消 $y$：$k^2(x-1{)}^2=4x$，整理得 $k^2{x}^2-(2k^2+4)x+k^2=0$（$k\ne 0$）。
3. 3由韦达定理：$x_1+x_2=\frac{2k^2+4}{k^2}$。
4. 4代入弦长条件：$\frac{2k^2+4}{k^2}+2=8$，即 $\frac{2k^2+4}{k^2}=6$，得 $2k^2+4=6k^2$，$k^2=1$。
5. 5故 $k=\pm 1$。