解不等式 |x-1|+|x+2| 5 。 x x -3 或 x 2 绝对值不等式绝对值不等式分类讨论几何意义全国II卷 2020

{ x ∣ x ≤ − 3 或 x ≥ 2 } 以零点 x = − 2 与 x = 1 分段讨论。当 x < − 2 时，原式为 ( 1 − x ) + ( − x − 2 ) = − 2 x − 1 ≥ 5 ，解得 x ≤ − 3 ，与 x < − 2 取交集得 x ≤ − 3 。当 − 2 ≤ x < 1 时，原式为 ( 1 − x ) + ( x + 2 ) = 3 ≥ 5 不成立，此段无解。当 x ≥ 1 时，原式为 ( x − 1 ) + ( x + 2 ) = 2 x + 1 ≥ 5 ，解得 x ≥ 2 ，与 x ≥ 1 取交集得 x ≥ 2 。综上，解集为 { x ∣ x ≤ − 3 或 x ≥ 2 } 。

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2020 年全国II卷·第13题

解答题★★☆☆☆ 常规改编题多解

解不等式

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣ \geq 5

。

答案

{x ∣ x \leq - 3 或 x \geq 2}

分步解析

1以零点 $x = - 2$ 与 $x = 1$ 分段讨论。
2当 $x < - 2$ 时，原式为 $(1 - x) + (- x - 2) = - 2 x - 1 \geq 5$ ，解得 $x \leq - 3$ ，与 $x < - 2$ 取交集得 $x \leq - 3$ 。
3当 $- 2 \leq x < 1$ 时，原式为 $(1 - x) + (x + 2) = 3 \geq 5$ 不成立，此段无解。
4当 $x \geq 1$ 时，原式为 $(x - 1) + (x + 2) = 2 x + 1 \geq 5$ ，解得 $x \geq 2$ ，与 $x \geq 1$ 取交集得 $x \geq 2$ 。
5综上，解集为 ${x ∣ x \leq - 3 或 x \geq 2}$ 。

点评也可用几何意义：

∣ x - 1∣ + ∣ x + 2∣

表示数轴上

x

到

1

与

- 2

的距离之和，两点间距离为

3

，要使和为

5

需向外各延伸

1

。

#绝对值不等式#分类讨论#几何意义

2020 年真题全国II卷

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