已知 x>1 ，则 x+ 4 x-1 的最小值为＿＿＿＿＿＿。 5 基本不等式求最值基本不等式配凑最小值湖北卷 2024

5 配凑出定积结构： x + x − 1 4 = ( x − 1 ) + x − 1 4 + 1 。因 x > 1 有 x − 1 > 0 ，由基本不等式 ( x − 1 ) + x − 1 4 ≥ 2 4 <path d="M95,702 c-2.7,0,-7.17,-2.7,-13.5,-8c-5.8,-5.3,-9.5,-10,-9.5,-14 c0,-2,0.3,-3.3,1,-4c1.3,-2.7,23.83,-20.7,67.5,-54 c44.2,-33.3,65.8,-50.3,66.5,-51c1.3,-1.3,3,-2,5,-2c4.7,0,8.7,3.3,12,10 s173,378,173,378c0.7,0,35.3,-71,104,-213c68.7,-142,137.5,-285,206.5,-429 c69,-144,104.5,-217.7,106.5,-221 l0 -0 c5.3,-9.3,12,-14,20,-14 H400000v40H845.2724 s-225.272,467,-225.272,467s-235,486,-235,486c-2.7,4.7,-9,7,-19,7 c-6,0,-10,-1,-12,-3s-194,-422,-194,-422s-65,47,-65,47z M834 80h400000v40h-400000z"/> = 4 。故原式 ≥ 4 + 1 = 5 ，当 x − 1 = x − 1 4 即 x = 3 时取等。最小值为 5 。

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2024 年湖北卷·第14题

填空题★★★★☆ 较难改编题通法

已知

x > 1

，则

x + \frac{4}{x - 1}

的最小值为＿＿＿＿＿＿。

答案

5

分步解析

1配凑出定积结构： $x + \frac{4}{x - 1} = (x - 1) + \frac{4}{x - 1} + 1$ 。
2因 $x > 1$ 有 $x - 1 > 0$ ，由基本不等式 $(x - 1) + \frac{4}{x - 1} \geq 24 = 4$ 。
3故原式 $\geq 4 + 1 = 5$ ，当 $x - 1 = \frac{4}{x - 1}$ 即 $x = 3$ 时取等。
4最小值为 $5$ 。

点评分母是

x - 1

就必须把分子上的

x

拆成

(x - 1) + 1

，凑不出「积为定值」时基本不等式一律用不了。

#基本不等式#配凑#最小值

2024 年真题湖北卷

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