不等式与基本不等式

1. 1配凑出定积结构：$x+\frac{4}{x-1}=(x-1)+\frac{4}{x-1}+1$。
2. 2因 $x>1$ 有 $x-1>0$，由基本不等式 $(x-1)+\frac{4}{x-1}\ge 2\sqrt{4}=4$。
3. 3故原式 $\ge 4+1=5$，当 $x-1=\frac{4}{x-1}$ 即 $x=3$ 时取等。
4. 4最小值为 $5$。

点评分母是 $x-1$ 就必须把分子上的 $x$ 拆成 $(x-1)+1$，凑不出「积为定值」时基本不等式一律用不了。

1. 1由 $a+b=2$ 得 $\frac{a+b}{2}=1$，把它乘进目标式：$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)(a+b)$。
2. 2展开得 $\frac{1}{2}\left(1+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+4\right)=\frac{1}{2}\left(5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\right)$。
3. 3由基本不等式 $\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\ge 2\sqrt{4}=4$，故原式 $\ge \frac{1}{2}\times 9=\frac{9}{2}$。
4. 4当 $b=2a$ 即 $a=\frac{2}{3},b=\frac{4}{3}$ 时取等，最小值为 $\frac{9}{2}$，选 C。

点评常见错误是直接对 $\frac{1}{a}$ 与 $\frac{4}{b}$ 用基本不等式得 $\ge \frac{4}{\sqrt{ab}}$，此时 $ab$ 不是定值，取不到最值。

1. 1先讨论 $a=0$：不等式化为 $1>0$，对任意 $x$ 成立，故 $a=0$ 可取。
2. 2再讨论 $a\ne 0$：需开口向上且判别式为负，即 $a>0$ 且 $\Delta =a^2-4a<0$。
3. 3由 $a^2-4a<0$ 得 $0<a<4$，与 $a>0$ 取交集仍为 $0<a<4$。
4. 4综上 $0\le a<4$，选 B。

点评二次项系数含参的恒成立问题，必须单独讨论系数为 $0$ 的退化情形，漏掉 $a=0$ 就会误选 A。

1. 1用「$1$ 的代换」把条件乘进目标式：$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)(x+2y)$。
2. 2展开得 $1+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}+2=3+\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}$。
3. 3由基本不等式 $\frac{2y}{x}+\frac{x}{y}\ge 2\sqrt{\frac{2y}{x}\cdot \frac{x}{y}}=2\sqrt{2}$，故原式 $\ge 3+2\sqrt{2}$。
4. 4取等条件：$\frac{2y}{x}=\frac{x}{y}$ 即 $x=\sqrt{2}y$，代入 $x+2y=1$ 有解（$y=\frac{1}{2+\sqrt{2}}>0$），故最小值为 $3+2\sqrt{2}$。

点评「一正二定三相等」缺一不可，最后一步必须验证取等时 $x,y$ 确实为正且满足约束。

1. 1先比 $a$ 与 $c$：构造 $f(x)=x{\mathrm{e}}^x+\ln (1-x)$，$x\in (0,1)$，则 $a-c=f(0.1)$。
2. 2求导得 $f^{\prime }(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x-\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x^2){\mathrm{e}}^x-1}{1-x}$。令 $g(x)=(1-x^2){\mathrm{e}}^x-1$，则 $g^{\prime }(x)=(1-2x-x^2){\mathrm{e}}^x$，在 $(0,\sqrt{2}-1)$ 上为正，故 $g$ 先增；又 $g(0)=0$，所以在 $(0,0.1]$ 上 $g(x)>0$，从而 $f^{\prime }(x)>0$，$f(0.1)>f(0)=0$，得 $a>c$。
3. 3再比 $a$ 与 $b$：$a<b$ 等价于 $0.1{\mathrm{e}}^{0.1}<\frac{1}{9}$，即 ${\mathrm{e}}^{0.1}<\frac{10}{9}$，两边取对数即 $0.1<\ln \frac{10}{9}=-\ln 0.9=c$。
4. 4由 $\ln (1+x)>\frac{x}{1+x}$（$x>0$）取 $x=\frac{1}{9}$ 得 $\ln \frac{10}{9}>\frac{1/9}{10/9}=0.1$，故 $a<b$ 成立。
5. 5综上 $c<a<b$，选 C。

点评近年比较大小题的统一套路：把三个数写成同一个函数在同一点的取值，用导数判断该函数与 $0$ 的大小。$\ln (1+x)$ 的两条夹逼 $\frac{x}{1+x}<\ln (1+x)<x$ 必须熟记。

1. 1A 错：$a>b>0$ 时倒数变小，正确关系是 $\frac{1}{a}<\frac{1}{b}$。
2. 2B 对：$y=x^2$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，由 $a>b>0$ 得 $a^2>b^2$。
3. 3C 错：$a-b$ 只知道为正，若 $0<a-b<1$ 则 $\ln (a-b)<0$，如 $a=1.2,b=1$。
4. 4D 错：$y=2^{-x}$ 单调递减，由 $a>b$ 应得 $2^{-a}<2^{-b}$。
5. 5故选 B。

点评判断不等式性质题的最快方式是「先找反例再证明」，反例优先取分数、负数与接近 $1$ 的数。

1. 1由绝对值三角不等式 $||x-1|-|x+3||\le |(x-1)-(x+3)|=4$，故 $-4\le f(x)\le 4$。
2. 2取 $x=-3$ 时 $f(-3)=4-0=4$，上界可达。
3. 3取 $x=1$ 时 $f(1)=0-4=-4$，下界可达。
4. 4又 $f$ 连续，故值域为 $[-4,4]$。

点评两个绝对值作差型函数的值域端点，一定在两个零点处取到，验证时直接代零点最快。

1. 1解集是有限开区间说明开口向下，即 $a<0$，且 $-\frac{1}{2}$ 与 $\frac{1}{3}$ 是方程 $a{x}^2+bx+2=0$ 的两根。
2. 2由韦达定理的积：$\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{a}$，即 $-\frac{1}{6}=\frac{2}{a}$，解得 $a=-12$。
3. 3由韦达定理的和：$-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=-\frac{b}{a}$，即 $-\frac{1}{6}=-\frac{b}{-12}$，解得 $b=-2$。
4. 4故 $a+b=-14$。

点评已知解集反求系数，先由解集形状定符号（开口方向），再用韦达定理，比直接代根解方程组更少出错。

1. 1以零点 $x=-2$ 与 $x=1$ 分段讨论。
2. 2当 $x<-2$ 时，原式为 $(1-x)+(-x-2)=-2x-1\ge 5$，解得 $x\le -3$，与 $x<-2$ 取交集得 $x\le -3$。
3. 3当 $-2\le x<1$ 时，原式为 $(1-x)+(x+2)=3\ge 5$ 不成立，此段无解。
4. 4当 $x\ge 1$ 时，原式为 $(x-1)+(x+2)=2x+1\ge 5$，解得 $x\ge 2$，与 $x\ge 1$ 取交集得 $x\ge 2$。
5. 5综上，解集为 $\{x\mid x\le -3\text{ 或 }x\ge 2\}$。

点评也可用几何意义：$|x-1|+|x+2|$ 表示数轴上 $x$ 到 $1$ 与 $-2$ 的距离之和，两点间距离为 $3$，要使和为 $5$ 需向外各延伸 $1$。

1. 1A 对：由 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$，当 $a=b=\frac{1}{2}$ 取等。
2. 2B 对：$a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=1-2ab\ge 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。
3. 3C 对：$(\sqrt{a}+\sqrt{b}{)}^2=a+b+2\sqrt{ab}=1+2\sqrt{ab}\le 1+1=2$，故 $\sqrt{a}+\sqrt{b}\le \sqrt{2}$。
4. 4D 错：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{ab}=\frac{1}{ab}\ge 4$，方向恰好相反。
5. 5故选 ABC。

点评多选题里 $ab\le \frac{1}{4}$ 是母题，$a^2+b^2$、$\sqrt{a}+\sqrt{b}$、$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ 全部可以由它推出，注意最后一个是「大于等于」。