函数 f(x)=|x-1|-|x+3| 的值域是＿＿＿＿＿＿。 [-4,4] 绝对值不等式绝对值不等式值域三角不等式北京卷 2021

[ − 4 , 4 ] 由绝对值三角不等式 ∣ x − 1∣ − ∣ x + 3∣ ≤ ∣ ( x − 1 ) − ( x + 3 ) ∣ = 4 ，故 − 4 ≤ f ( x ) ≤ 4 。取 x = − 3 时 f ( − 3 ) = 4 − 0 = 4 ，上界可达。取 x = 1 时 f ( 1 ) = 0 − 4 = − 4 ，下界可达。又 f 连续，故值域为 [ − 4 , 4 ] 。

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2021 年北京卷·第12题

填空题★★★☆☆ 中档改编题巧法

函数

f (x) = ∣ x - 1∣ - ∣ x + 3∣

的值域是＿＿＿＿＿＿。

答案

[- 4, 4]

分步解析

1由绝对值三角不等式 $∣ x - 1∣ - ∣ x + 3∣ \leq ∣ (x - 1) - (x + 3) ∣ = 4$ ，故 $- 4 \leq f (x) \leq 4$ 。
2取 $x = - 3$ 时 $f (- 3) = 4 - 0 = 4$ ，上界可达。
3取 $x = 1$ 时 $f (1) = 0 - 4 = - 4$ ，下界可达。
4又 $f$ 连续，故值域为 $[- 4, 4]$ 。

点评两个绝对值作差型函数的值域端点，一定在两个零点处取到，验证时直接代零点最快。

#绝对值不等式#值域#三角不等式

2021 年真题北京卷

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