若对任意实数 x ，不等式 ax 2 +ax+1>0 恒成立，则实数 a 的取值范围是（） 0<a<4 0 a<4 a<4 a 0 B 一元二次不等式恒成立判别式分类讨论天津卷 2023

B 先讨论 a = 0 ：不等式化为 1 > 0 ，对任意 x 成立，故 a = 0 可取。再讨论 a  = 0 ：需开口向上且判别式为负，即 a > 0 且 Δ = a 2 − 4 a < 0 。由 a 2 − 4 a < 0 得 0 < a < 4 ，与 a > 0 取交集仍为 0 < a < 4 。综上 0 ≤ a < 4 ，选 B。

高考数学考点题库/不等式与基本不等式/一元二次不等式

2023 年天津卷·第4题

单选题★★★☆☆ 中档改编题通法

若对任意实数

x

，不等式

a x^{2} + a x + 1 > 0

恒成立，则实数

a

的取值范围是（　　）

0 < a < 4

0 \leq a < 4

a < 4

a \geq 0

答案B

分步解析

1先讨论 $a = 0$ ：不等式化为 $1 > 0$ ，对任意 $x$ 成立，故 $a = 0$ 可取。
2再讨论 $a \neq = 0$ ：需开口向上且判别式为负，即 $a > 0$ 且 $Δ = a^{2} - 4 a < 0$ 。
3由 $a^{2} - 4 a < 0$ 得 $0 < a < 4$ ，与 $a > 0$ 取交集仍为 $0 < a < 4$ 。
4综上 $0 \leq a < 4$ ，选 B。

点评二次项系数含参的恒成立问题，必须单独讨论系数为

0

的退化情形，漏掉

a = 0

就会误选 A。

#恒成立#判别式#分类讨论

2023 年真题天津卷

同考点推荐不等式与基本不等式 · 一元二次不等式

第5题填空★★★☆☆不等式与基本不等式·一元二次不等式#一元二次不等式 #韦达定理 #解集反求改编查看 →第14题填空★★★★☆不等式与基本不等式·基本不等式求最值#基本不等式 #配凑 #最小值改编查看 →第8题单选★★★☆☆不等式与基本不等式·基本不等式求最值#基本不等式 #1的代换 #最小值改编查看 →第9题填空★★★☆☆不等式与基本不等式·基本不等式求最值#基本不等式 #1的代换 #最值改编查看 →

想按考点连续练习？前往不等式与基本不等式专题页查看全部真题与解析。