2024 年全国乙卷·第8题

分步解析

1. 1由 $a+b=2$ 得 $\frac{a+b}{2}=1$，把它乘进目标式：$\frac{1}{a}+\frac{4}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{4}{b}\right)(a+b)$。
2. 2展开得 $\frac{1}{2}\left(1+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}+4\right)=\frac{1}{2}\left(5+\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\right)$。
3. 3由基本不等式 $\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}\ge 2\sqrt{4}=4$，故原式 $\ge \frac{1}{2}\times 9=\frac{9}{2}$。
4. 4当 $b=2a$ 即 $a=\frac{2}{3},b=\frac{4}{3}$ 时取等，最小值为 $\frac{9}{2}$，选 C。