2020 年新高考I卷·第16题

分步解析

1. 1记 $m=|P{F}_1|$，$n=|P{F}_2|$。由椭圆定义 $m+n=2a=4$。
2. 2由余弦定理：$|F_1{F}_2{|}^2=m^2+n^2-2mn\cos 60^{\circ }$，其中 $|F_1{F}_2|=2c=2\sqrt{3}$。
3. 3即 $12=(m+n{)}^2-2mn-mn=16-3mn$，解得 $mn=\frac{4}{3}$。
4. 4面积 $S=\frac{1}{2}mn\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\times \frac{4}{3}\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。