若数列 a n 的任意相邻三项都满足 a n+2 =a n+1 -a n ，则称其为「差递归数列」。已知 a 1 =1 ， a 2 =3 ，求 a 2024 。 3 新定义数列新定义周期数列递推新高考I卷 2020

3 逐项计算前几项： a 3 = a 2 − a 1 = 2 ， a 4 = a 3 − a 2 = − 1 ， a 5 = a 4 − a 3 = − 3 ， a 6 = a 5 − a 4 = − 2 ， a 7 = a 6 − a 5 = 1 ， a 8 = a 7 − a 6 = 3 。发现 a 7 = a 1 、 a 8 = a 2 ，故数列以 6 为周期。 2024 = 6 × 337 + 2 ，故 a 2024 = a 2 。所以 a 2024 = 3 。

2020 新高考I卷｜新定义与创新题·新定义数列

若数列

{a_{n}}

的任意相邻三项都满足

a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}

，则称其为「差递归数列」。已知

a_{6} = a_{5} - a_{4} = - 2

，

a_{2} = 3

，求

a_{2024}

。

答案

3

分步解析

1逐项计算前几项： $a_{3} = a_{2} - a_{1} = 2$ ， $a_{4} = a_{3} - a_{2} = - 1$ ， $a_{5} = a_{4} - a_{3} = - 3$ ， $a_{6} = a_{5} - a_{4} = - 2$ ， $a_{7} = a_{6} - a_{5} = 1$ ， $a_{8} = a_{7} - a_{6} = 3$ 。
2发现 $a_{7} = a_{1}$ 、 $a_{8} = a_{2}$ ，故数列以 $6$ 为周期。
3 $2024 = 6 \times 337 + 2$ ，故 $a_{2024} = a_{2}$ 。
4所以 $a_{2024} = 3$ 。

点评形如

a_{n + 2} = a_{n + 1} - a_{n}

的递推必定周期为

6

，这是竞赛与新定义题的常客；遇到陌生递推先算前

6 \sim 8

项找周期。

#新定义#周期数列#递推

2020 年真题新高考I卷

2020 年新高考I卷·第21题

分步解析

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