新定义与创新题

1. 1按定义，$A\ast B$ 是「属于并集但不属于交集」的元素，即两集合的对称差。
2. 2$A\cup B=\{1,2,3,4\}$，$A\cap B=\{2,3\}$。
3. 3从并集中去掉交集的元素，剩下 $\{1,4\}$。

点评集合类新定义题一律先算出并、交、补，再按定义筛选；本题定义的正是「对称差」运算。

1. 1按定义，$a\otimes b$ 就是取两者中较小的一个，即 $f(x)=\min \{2^x,3-x\}$。
2. 2$y=2^x$ 单调递增，$y=3-x$ 单调递减，二者恰有一个交点。
3. 3令 $2^x=3-x$，观察得 $x=1$ 时两边都等于 $2$，故交点为 $(1,2)$。
4. 4取小函数的图象在交点左侧沿 $2^x$ 上升、右侧沿 $3-x$ 下降，故最大值在交点处取得，为 $2$。

点评新定义题不考新知识，只考「把定义翻译成熟悉语言」的速度：本题翻译成 $\min$ 之后就是常规的分段最值问题。

1. 1按定义作差：$\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}-f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{x_1^2+x_2^2}{2}-{\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)}^2$。
2. 2通分整理：$=\frac{2(x_1^2+x_2^2)-(x_1+x_2{)}^2}{4}=\frac{x_1^2-2x_1{x}_2+x_2^2}{4}$。
3. 3即差值为 $\frac{(x_1-x_2{)}^2}{4}\ge 0$。
4. 4故不等式恒成立，$f(x)=x^2$ 在 $\mathbf{R}$ 上下凸（等号当且仅当 $x_1=x_2$ 时成立）。

点评验证定义型的不等式，标准动作是「作差 → 配方 → 判断符号」，配出完全平方就说明结论成立。

1. 1由递推式 $a_{n+1}-a_n=2n$，而 $2n=n\times 2$ 是 $2$ 的整数倍（$n$ 为正整数）。
2. 2故按定义 $\{a_n\}$ 是 $2$-阶梯数列。
3. 3用累加法求 $a_5$：$a_5=a_1+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)+(a_4-a_3)+(a_5-a_4)=1+2+4+6+8$。
4. 4计算得 $a_5=21$。

点评新定义数列题的第一步永远是「逐字对照定义验证」，第二步才是用常规方法（累加、累乘、构造）计算。

1. 1改写通项：$a_n=\frac{n}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$。
2. 2由 $n\ge 1$ 得 $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$，故 $\frac{1}{2}\le a_n<1$。
3. 3于是 $|a_n|<1$ 对一切 $n$ 成立。
4. 4故数列有界，取 $M=1$ 即可（任何不小于 $1$ 的常数都可以）。

点评证明有界只需找到一个可行的 $M$，不必找最小的；把分式通项拆成「常数 − 小量」是估计范围最快的变形。

1. 1先算 $\lfloor -2.3\rfloor$：不超过 $-2.3$ 的最大整数是 $-3$（不是 $-2$）。
2. 2故 $\{-2.3\}=-2.3-(-3)=0.7$。
3. 3再算 $\lfloor 3.7\rfloor =3$，故 $\{3.7\}=3.7-3=0.7$。
4. 4两者相加：$0.7+0.7=1.4$。

点评取整函数在负数处最易错：$\lfloor -2.3\rfloor =-3$ 而非 $-2$，因为要取「不超过」它的最大整数。小数部分恒在 $[0,1)$ 内，可用来自检。

1. 1令 $x=y=1$：$f(2)=f(1)+f(1)=4$。
2. 2令 $x=2$、$y=1$：$f(3)=f(2)+f(1)=4+2=6$。
3. 3（一般地可归纳得 $f(n)=2n$。）

点评抽象函数题的通法是「赋特殊值」：把一般等式中的字母换成 $0$、$1$、$x$、$-x$ 等具体值，逐步逼近所求。

1. 1比较 $x$ 与 $x^2$：当 $0\le x\le 1$ 时 $x\ge x^2$，故 $f(x)=x$；当 $1<x\le 2$ 时 $x^2>x$，故 $f(x)=x^2$。
2. 2在 $[0,1]$ 上 $f(x)=x$ 单调递增，最小值为 $f(0)=0$。
3. 3在 $(1,2]$ 上 $f(x)=x^2>1$。
4. 4综合两段，最小值为 $0$。

点评取大取小函数一律先「分段化」：找出两支的大小分界点，把新定义函数还原为分段函数后再按常规求最值。

1. 1依次计算：$a_2=\frac{1}{1-2}=-1$，$a_3=\frac{1}{1-(-1)}=\frac{1}{2}$，$a_4=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2=a_1$。
2. 2故数列以 $3$ 为周期。
3. 3$2025=3\times 675$，即 $2025$ 是 $3$ 的倍数，对应周期中的第 $3$ 项。
4. 4故 $a_{2025}=a_3=\frac{1}{2}$。

点评周期数列求远项的两步：先算前几项定周期，再用「下标除以周期取余数」定位；余数为 $0$ 时对应周期的最后一项，这一步最容易错。

1. 1逐项计算前几项：$a_3=a_2-a_1=2$，$a_4=a_3-a_2=-1$，$a_5=a_4-a_3=-3$，$a_6=a_5-a_4=-2$，$a_7=a_6-a_5=1$，$a_8=a_7-a_6=3$。
2. 2发现 $a_7=a_1$、$a_8=a_2$，故数列以 $6$ 为周期。
3. 3$2024=6\times 337+2$，故 $a_{2024}=a_2$。
4. 4所以 $a_{2024}=3$。

点评形如 $a_{n+2}=a_{n+1}-a_n$ 的递推必定周期为 $6$，这是竞赛与新定义题的常客；遇到陌生递推先算前 $6\sim 8$ 项找周期。