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2023 年新课标I卷·第20题

新定义题★★★★☆ 较难改编题通法

若数列

{a_{n}}

满足：对任意

n

，

a_{n + 1} - a_{n}

是常数

d

的整数倍，则称

{a_{n}}

为「

d

-阶梯数列」。已知

a_{1} = 1

，

a_{n + 1} = a_{n} + 2 n

，判断

{a_{n}}

是否为

2

-阶梯数列，并求

a_{5}

。

答案是

2

-阶梯数列；

a_{5} = 21

。

分步解析

1由递推式 $a_{n + 1} - a_{n} = 2 n$ ，而 $2 n = n \times 2$ 是 $2$ 的整数倍（ $n$ 为正整数）。
2故按定义 ${a_{n}}$ 是 $2$ -阶梯数列。
3用累加法求 $a_{5}$ ： $a_{5} = a_{1} + (a_{2} - a_{1}) + (a_{3} - a_{2}) + (a_{4} - a_{3}) + (a_{5} - a_{4}) = 1 + 2 + 4 + 6 + 8$ 。
4计算得 $a_{5} = 21$ 。

点评新定义数列题的第一步永远是「逐字对照定义验证」，第二步才是用常规方法（累加、累乘、构造）计算。

#新定义#数列#累加法

2023 年真题新课标I卷

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