已知椭圆 x 2 2 +y 2 =1 的左右顶点为 A 1 (- 2 ,0) 、 A 2 ( 2 ,0) ， P 为椭圆上异于顶点的动点，证明：直线 PA 1 与 PA 2 的斜率之积为定值。斜率之积恒为 - 1 2 。定值问题定值问

Question

已知椭圆 x 2 2 +y 2 =1 的左右顶点为 A 1 (- 2 ,0) 、 A 2 ( 2 ,0) ， P 为椭圆上异于顶点的动点，证明：直线 PA 1 与 PA 2 的斜率之积为定值。 斜率之积恒为 - 1 2 。 定值问题 定值问题 斜率积 椭圆性质 新课标I卷 2020

Accepted Answer

斜率之积恒为

- \frac{1}{2}

。设

P (x_{0}, y_{0})

，则

\frac{x _{0}^{2}}{2} + y_{0}^{2} = 1

，即

y_{0}^{2} = 1 - \frac{x _{0}^{2}}{2} = \frac{2 - x _{0}^{2}}{2}

。两条斜率：

k_{1} = \frac{y _{0}}{x _{0} + 2}

，

k_{2} = \frac{y _{0}}{x _{0} - 2}

。相乘：

k_{1} k_{2} = \frac{y _{0}^{2}}{x _{0}^{2} - 2}

。代入

y_{0}^{2}

：

k_{1} k_{2} = \frac{( 2 - x _{0}^{2} ) /2}{x _{0}^{2} - 2} = - \frac{1}{2}

，为定值。

2020 年新课标I卷·第21题