2021 年全国乙卷·第21题

分步解析

1. 1椭圆焦点弦长公式：若弦与 $x$ 轴夹角为 $\theta$，则 $|AB|=\frac{2a{b}^2}{a^2-c^2{\cos }^2\theta }$。本题 $a=2$，$b^2=3$，$c=1$，故 $|AB|=\frac{12}{4-{\cos }^2\theta }$。
2. 2$CD$ 与 $AB$ 垂直，其倾斜角为 $\theta +\frac{\pi }{2}$，故 $|CD|=\frac{12}{4-{\sin }^2\theta }$。
3. 3求和：$\frac{1}{|AB|}+\frac{1}{|CD|}=\frac{4-{\cos }^2\theta }{12}+\frac{4-{\sin }^2\theta }{12}$。
4. 4由 ${\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta =1$ 得和为 $\frac{8-1}{12}=\frac{7}{12}$，与 $\theta$ 无关，为定值。