高考数学考点题库/随机变量与分布列/离散型随机变量的分布列

2021 年湖北卷·第17题

解答题★★★★★ 压轴改编题通法

甲、乙两人进行比赛，每局甲获胜的概率为

\frac{2}{3}

，采用三局两胜制（先胜两局者获胜，比赛结束）。设比赛的局数为

X

，求

X

的分布列与

E (X)

。

答案

P (X = 2) = \frac{5}{9}

，

P (X = 3) = \frac{4}{9}

；

E (X) = \frac{22}{9}

。

分步解析

1 $X$ 只能取 $2$ 或 $3$ 。
2 $X = 2$ 表示前两局同一人连胜：甲连胜概率 $(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$ ，乙连胜概率 $(\frac{1}{3})^{2} = \frac{1}{9}$ ，故 $P (X = 2) = \frac{5}{9}$ 。
3 $X = 3$ 是对立情形： $P (X = 3) = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$ 。
4期望： $E (X) = 2 \times \frac{5}{9} + 3 \times \frac{4}{9} = \frac{10 + 12}{9} = \frac{22}{9}$ 。

点评比赛局数问题的关键是理解「比赛提前结束」：前两局分出胜负就不打第三局，因此

X = 3

意味着前两局各胜一场。

#分布列#比赛问题#对立事件

2021 年真题湖北卷

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