随机变量与分布列

1. 1期望的线性性质：$E(aX+b)=aE(X)+b$，故 $E(Y)=2\times 2+1=5$。
2. 2方差的性质：$D(aX+b)=a^{2}D(X)$，常数项不影响波动。
3. 3故 $D(Y)=2^2\times 3=12$。

点评方差的系数要平方、常数项要丢掉，这两点是期望与方差性质最大的区别。

1. 1二项分布的期望公式：$E(X)=np=10\times 0.4=4$。
2. 2二项分布的方差公式：$D(X)=np(1-p)=10\times 0.4\times 0.6=2.4$。
3. 3故选 A。

点评二项分布 $E=np$、$D=np(1-p)$；两点分布是它 $n=1$ 的特例，$E=p$、$D=p(1-p)$。

1. 1总取法：${\mathrm{C}}_{10}^3=120$。
2. 2恰有 $1$ 件次品：从 $3$ 件次品中取 $1$、从 $7$ 件正品中取 $2$，即 ${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_7^2=3\times 21=63$。
3. 3故 $P(X=1)=\frac{63}{120}=\frac{21}{40}$。

点评超几何分布（不放回）与二项分布（有放回）的判别标准就是「是否放回」，公式结构完全不同。

1. 1$X$ 的可能取值为 $0,1,2$，总取法为 ${\mathrm{C}}_5^2=10$。
2. 2$P(X=0)=\frac{{\mathrm{C}}_2^2}{10}=\frac{1}{10}$；$P(X=1)=\frac{{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_2^1}{10}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；$P(X=2)=\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{10}=\frac{3}{10}$。
3. 3检验：三个概率之和为 $\frac{1+6+3}{10}=1$，分布列正确。
4. 4期望：$E(X)=0\times \frac{1}{10}+1\times \frac{6}{10}+2\times \frac{3}{10}=\frac{12}{10}=1.2$。

点评分布列的两个必写步骤：写全所有取值、验证概率和为 $1$。本题 $X$ 服从超几何分布，也可用 $E(X)=n\frac{M}{N}=2\times \frac{3}{5}=1.2$ 直接验证。

1. 1正态曲线关于 $x=\mu$ 对称，$\mu$ 只决定曲线的左右位置，不改变形状，故 C、D 错误。
2. 2$\sigma$ 是标准差，衡量数据的离散程度。
3. 3$\sigma$ 越大数据越分散，曲线越「矮胖」；$\sigma$ 越小越集中，曲线越「高瘦」。
4. 4故 A 正确、B 错误。

点评记忆口诀：$\mu$ 定位置、$\sigma$ 定胖瘦，且「瘦高对应小 $\sigma$」。

1. 1正态曲线关于均值 $\mu =3$ 对称，而 $1$ 与 $5$ 关于 $3$ 对称。
2. 2由对称性：$P(X>5)=P(X<1)=0.2$。
3. 3故 $P(X<5)=1-P(X>5)=1-0.2=0.8$。

点评正态分布题几乎全靠对称性：先找与已知点关于 $\mu$ 对称的点，再用「总概率为 $1$」转化。

1. 1$X$ 只能取 $2$ 或 $3$。
2. 2$X=2$ 表示前两局同一人连胜：甲连胜概率 ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{4}{9}$，乙连胜概率 ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$，故 $P(X=2)=\frac{5}{9}$。
3. 3$X=3$ 是对立情形：$P(X=3)=1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$。
4. 4期望：$E(X)=2\times \frac{5}{9}+3\times \frac{4}{9}=\frac{10+12}{9}=\frac{22}{9}$。

点评比赛局数问题的关键是理解「比赛提前结束」：前两局分出胜负就不打第三局，因此 $X=3$ 意味着前两局各胜一场。

1. 1期望：$E(X)=1\times 0.2+2\times 0.5+3\times 0.3=0.2+1+0.9=2.1$。
2. 2先求 $E(X^2)=1\times 0.2+4\times 0.5+9\times 0.3=0.2+2+2.7=4.9$。
3. 3由方差公式 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2=4.9-4.41=0.49$。

点评用 $D(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$ 比按定义逐项算 $(x_i-E{)}^2{p}_i$ 快得多，且不易出错。

1. 1由期望定义逐项相乘再求和。
2. 2$E(X)=0\times 0.9+10\times 0.09+100\times 0.01$。
3. 3计算：$0+0.9+1=1.9$（元）。

点评期望是「长期平均值」，可用于比较方案优劣；若还要比较稳定性，则需进一步计算方差。

1. 1各次独立、概率相同，故 $X\sim B(5,0.8)$。
2. 2由二项分布概率公式：$P(X=k)={\mathrm{C}}_5^{k}0.8^{k}0.2^{5-k}$。
3. 3取 $k=4$：${\mathrm{C}}_5^4\times 0.8^4\times 0.2=5\times 0.4096\times 0.2$。
4. 4计算得 $0.4096$。