高考数学考点题库/随机变量与分布列/离散型随机变量的分布列

2023 年新课标II卷·第18题

解答题★★★★☆ 较难改编题通法

袋中有

3

个红球与

2

个白球，从中不放回地取

E (X) = 1.2

个球，设

X

为取到红球的个数，求

X

的分布列与数学期望。

答案

P (X = 0) = \frac{1}{10}

，

P (X = 1) = \frac{3}{5}

，

P (X = 2) = \frac{3}{10}

；

E (X) = 1.2

。

分步解析

1 $X$ 的可能取值为 $0, 1, 2$ ，总取法为 $C_{5}^{2} = 10$ 。
2 $P (X = 0) = \frac{C _{2}^{2}}{10} = \frac{1}{10}$ ； $P (X = 1) = \frac{C _{3}^{1} C _{2}^{1}}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ ； $P (X = 2) = \frac{C _{3}^{2}}{10} = \frac{3}{10}$ 。
3检验：三个概率之和为 $\frac{1 + 6 + 3}{10} = 1$ ，分布列正确。
4期望： $E (X) = 0 \times \frac{1}{10} + 1 \times \frac{6}{10} + 2 \times \frac{3}{10} = \frac{12}{10} = 1.2$ 。

点评分布列的两个必写步骤：写全所有取值、验证概率和为

1

。本题

X

服从超几何分布，也可用

E (X) = n \frac{M}{N} = 2 \times \frac{3}{5} = 1.2

直接验证。

#分布列#超几何分布#期望

2023 年真题新课标II卷

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