2021 年新高考I卷·第7题

分步解析

1. 1设切点为 $(t,(t+a){\mathrm{e}}^t)$。由 $y^{\prime }=(x+a+1){\mathrm{e}}^x$ 得切线斜率 $k=(t+a+1){\mathrm{e}}^t$。
2. 2切线过原点，故 $\frac{(t+a){\mathrm{e}}^t-0}{t-0}=(t+a+1){\mathrm{e}}^t$。
3. 3因 ${\mathrm{e}}^t\ne 0$，两边同乘 $t$ 并约去 ${\mathrm{e}}^t$：$t+a=t(t+a+1)$，展开得 $t+a=t^2+at+t$，整理为 $t^2+at-a=0$。
4. 4两条切线即该方程有两个不同实根：$\Delta =a^2+4a>0$，即 $a(a+4)>0$。
5. 5解得 $a<-4$ 或 $a>0$，选 A。