若曲线 y=x 3 -3x 在点 P 处的切线平行于直线 y=9x+1 ，则点 P 的坐标为＿＿＿＿＿＿。 (2,2) 或 (-2,-2) 导数的几何意义切线平行斜率北京卷 2024

( 2 , 2 ) 或 ( − 2 , − 2 ) 平行意味着斜率相等： y ′ = 3 x 2 − 3 = 9 。解得 x 2 = 4 ，即 x = 2 或 x = − 2 。代回曲线求纵坐标： x = 2 时 y = 8 − 6 = 2 ； x = − 2 时 y = − 8 + 6 = − 2 。故 P ( 2 , 2 ) 或 P ( − 2 , − 2 ) 。

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2024 年北京卷·第11题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

若曲线

y = x^{3} - 3 x

在点

P

处的切线平行于直线

y = 9 x + 1

，则点

P

的坐标为＿＿＿＿＿＿。

答案

(2, 2)

或

(- 2, - 2)

分步解析

1平行意味着斜率相等： $P (- 2, - 2)$ 。
2解得 $x^{2} = 4$ ，即 $x = 2$ 或 $x = - 2$ 。
3代回曲线求纵坐标： $x = 2$ 时 $y = 8 - 6 = 2$ ； $x = - 2$ 时 $y = - 8 + 6 = - 2$ 。
4故 $P (2, 2)$ 或 $P (- 2, - 2)$ 。

点评由斜率反求切点常有两解，只写一个是最常见的失分点；必要时还需检验切线是否与已知直线重合。

#切线#平行#斜率

2024 年真题北京卷

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