2022 年新高考I卷·第15题

分步解析

1. 1原点不在曲线上，必须设切点。先看 $x>0$ 的一支：$y=\ln x$，设切点 $(x_0,\ln x_0)$，斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。
2. 2切线过原点，斜率也等于 $\frac{\ln x_0-0}{x_0-0}$，故 $\frac{1}{x_0}=\frac{\ln x_0}{x_0}$，得 $\ln x_0=1$，$x_0=\mathrm{e}$。
3. 3此时 $k=\frac{1}{\mathrm{e}}$，切线为 $y=\frac{1}{\mathrm{e}}x$。
4. 4由 $y=\ln |x|$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，$x<0$ 的一支给出对称的切线 $y=-\frac{1}{\mathrm{e}}x$。