导数与切线

1. 1平行意味着斜率相等：$y^{\prime }=3x^2-3=9$。
2. 2解得 $x^2=4$，即 $x=2$ 或 $x=-2$。
3. 3代回曲线求纵坐标：$x=2$ 时 $y=8-6=2$；$x=-2$ 时 $y=-8+6=-2$。
4. 4故 $P(2,2)$ 或 $P(-2,-2)$。

点评由斜率反求切点常有两解，只写一个是最常见的失分点；必要时还需检验切线是否与已知直线重合。

1. 1乘积求导：$y^{\prime }={\mathrm{e}}^x\cos x+{\mathrm{e}}^x(-\sin x)={\mathrm{e}}^x(\cos x-\sin x)$。
2. 2代入 $x=0$：$y^{\prime }(0)=1\times (1-0)=1$。
3. 3点斜式得 $y-1=x$，即 $y=x+1$。

1. 1设 $l$ 与 $y=\ln x$ 相切于 $(a,\ln a)$，则斜率 $k=\frac{1}{a}$，切线为 $y=\frac{1}{a}(x-a)+\ln a=\frac{x}{a}+\ln a-1$。
2. 2设 $l$ 与 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 相切于 $(b,\frac{b^2}{4})$，则 $k=\frac{b}{2}$，切线为 $y=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4}$。
3. 3两式为同一条直线，比较系数：$\frac{1}{a}=\frac{b}{2}$ 且 $\ln a-1=-\frac{b^2}{4}$。
4. 4由第一式 $b=\frac{2}{a}$，代入第二式得 $\ln a-1=-\frac{1}{a^2}$。观察知 $a=1$ 满足（左边 $-1$，右边 $-1$）。
5. 5此时 $k=1$，切线为 $y=x-1$。

点评公切线的通法是「两边各设切点，再让两条切线方程完全相同」，比较系数得到方程组。

1. 1求导：$y^{\prime }=3x^2-2$。
2. 2代入 $x=1$ 得斜率 $k=3-2=1$。
3. 3由点斜式：$y-(-1)=1\cdot (x-1)$，整理得 $y=x-2$。

点评「在某点处」的切线，该点一定是切点，直接求导代值即可，无需设切点。

1. 1原点不在曲线上，必须设切点。先看 $x>0$ 的一支：$y=\ln x$，设切点 $(x_0,\ln x_0)$，斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。
2. 2切线过原点，斜率也等于 $\frac{\ln x_0-0}{x_0-0}$，故 $\frac{1}{x_0}=\frac{\ln x_0}{x_0}$，得 $\ln x_0=1$，$x_0=\mathrm{e}$。
3. 3此时 $k=\frac{1}{\mathrm{e}}$，切线为 $y=\frac{1}{\mathrm{e}}x$。
4. 4由 $y=\ln |x|$ 是偶函数，图象关于 $y$ 轴对称，$x<0$ 的一支给出对称的切线 $y=-\frac{1}{\mathrm{e}}x$。

点评「过某点」的切线必须设切点，再让「导数斜率」与「两点斜率」相等；直接把已知点当切点是本题最大的陷阱。

1. 1商的求导法则：$y^{\prime }=\frac{{\mathrm{e}}^x(x+1)-{\mathrm{e}}^x\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{x{\mathrm{e}}^x}{(x+1{)}^2}$。
2. 2代入 $x=0$：分子为 $0\times 1=0$，分母为 $1$。
3. 3故斜率为 $0$，选 B。

1. 1点 $(0,-1)$ 不在曲线上，设切点为 $(t,t^2)$，由 $y^{\prime }=2x$ 得斜率 $k=2t$。
2. 2切线过 $(0,-1)$，两点斜率也应为 $k$：$\frac{t^2-(-1)}{t-0}=2t$。
3. 3整理得 $t^2+1=2t^2$，即 $t^2=1$，$t=\pm 1$。
4. 4$t=1$ 时 $k=2$，切线 $y=2x-1$；$t=-1$ 时 $k=-2$，切线 $y=-2x-1$。

1. 1设切点为 $(t,(t+a){\mathrm{e}}^t)$。由 $y^{\prime }=(x+a+1){\mathrm{e}}^x$ 得切线斜率 $k=(t+a+1){\mathrm{e}}^t$。
2. 2切线过原点，故 $\frac{(t+a){\mathrm{e}}^t-0}{t-0}=(t+a+1){\mathrm{e}}^t$。
3. 3因 ${\mathrm{e}}^t\ne 0$，两边同乘 $t$ 并约去 ${\mathrm{e}}^t$：$t+a=t(t+a+1)$，展开得 $t+a=t^2+at+t$，整理为 $t^2+at-a=0$。
4. 4两条切线即该方程有两个不同实根：$\Delta =a^2+4a>0$，即 $a(a+4)>0$。
5. 5解得 $a<-4$ 或 $a>0$，选 A。

点评过定点作切线的条数 = 关于切点参数 $t$ 的方程的实根个数，这是把几何问题转化为方程根个数问题的标准路径。

1. 1乘积求导法则：$f^{\prime }(x)=(x{)}^{\prime }\sin x+x(\sin x{)}^{\prime }=\sin x+x\cos x$。
2. 2代入 $x=\frac{\pi }{2}$：$\sin \frac{\pi }{2}=1$，$\cos \frac{\pi }{2}=0$。
3. 3故 $f^{\prime }\left(\frac{\pi }{2}\right)=1+\frac{\pi }{2}\times 0=1$，选 B。

1. 1逐项求导：$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$，$(2x^2{)}^{\prime }=4x$。
2. 2故 $f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+4x$。
3. 3代入 $x=1$ 得 $1+4=5$，选 C。