已知点 M 到点 F(1,0) 的距离等于它到直线 x=-1 的距离，求点 M 的轨迹方程。 y 2 =4x 轨迹方程轨迹方程抛物线定义坐标法新课标I卷 2021

y 2 = 4 x 「到定点距离等于到定直线距离」恰是抛物线的定义，其中定点为焦点、定直线为准线。焦点 F ( 1 , 0 ) ，准线 x = − 1 ，二者关于原点对称，故顶点在原点、开口向右。由 2 p = 1 得 p = 2 ， 2 p = 4 。故轨迹方程为 y 2 = 4 x 。（也可设 M ( x , y ) 直接列式 ( x − 1 ) 2 + y 2 <path d="M263,681c0.7,0,18,39.7,52,119 c34,79.3,68.167,158.7,102.5,238c34.3,79.3,51.8,119.3,52.5,120 c340,-704.7,510.7,-1060.3,512,-1067 l0 -0 c4.7,-7.3,11,-11,19,-11 H40000v40H1012.3 s-271.3,567,-271.3,567c-38.7,80.7,-84,175,-136,283c-52,108,-89.167,185.3,-111.5,232 c-22.3,46.7,-33.8,70.3,-34.5,71c-4.7,4.7,-12.3,7,-23,7s-12,-1,-12,-1 s-109,-253,-109,-253c-72.7,-168,-109.3,-252,-110,-252c-10.7,8,-22,16.7,-34,26 c-22,17.3,-33.3,26,-34,26s-26,-26,-26,-26s76,-59,76,-59s76,-60,76,-60z M1001 80h400000v40h-400000z"/> = ∣ x + 1∣ ，平方化简得同一结果。）

高考数学考点题库/圆锥曲线综合定点定值/轨迹方程

2021 年新课标I卷·第20题

解答题★★★★☆ 较难改编题多解

已知点

M

到点

F (1, 0)

的距离等于它到直线

x = - 1

的距离，求点

M

的轨迹方程。

答案

y^{2} = 4 x

分步解析

1「到定点距离等于到定直线距离」恰是抛物线的定义，其中定点为焦点、定直线为准线。
2焦点 $F (1, 0)$ ，准线 $x = - 1$ ，二者关于原点对称，故顶点在原点、开口向右。
3由 $\frac{p}{2} = 1$ 得 $p = 2$ ， $2 p = 4$ 。
4故轨迹方程为 $y^{2} = 4 x$ 。（也可设 $M (x, y)$ 直接列式 $(x - 1)^{2} + y^{2} = ∣ x + 1∣$ ，平方化简得同一结果。）

点评轨迹问题先判断是否符合某个圆锥曲线的定义：符合就直接写方程，不符合再用坐标法「设点—列式—化简」。

#轨迹方程#抛物线定义#坐标法

2021 年真题新课标I卷

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