2021 年浙江卷·第15题

分步解析

1. 1设弦的两端点为 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，均在椭圆上：$\frac{x_1^2}{16}+\frac{y_1^2}{4}=1$，$\frac{x_2^2}{16}+\frac{y_2^2}{4}=1$。
2. 2两式相减（点差法）：$\frac{(x_1+x_2)(x_1-x_2)}{16}+\frac{(y_1+y_2)(y_1-y_2)}{4}=0$。
3. 3由中点 $M(2,1)$ 得 $x_1+x_2=4$，$y_1+y_2=2$，代入得 $\frac{4(x_1-x_2)}{16}+\frac{2(y_1-y_2)}{4}=0$。
4. 4整理得 $\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{2}$，即斜率为 $-\frac{1}{2}$。