高考数学考点题库/空间向量与空间角/建系与坐标表示

2022 年北京卷·第17题

解答题★★★★★ 压轴改编题通法

在棱长为

2

的正方体

A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}

中，

E

为棱

C C_{1}

的中点，求平面

A_{1} B E

的一个法向量。

答案

n = (2, - 1, 2)

（或其非零倍数）

分步解析

1以 $A$ 为原点建系，得 $A_{1} (0, 0, 2)$ ， $B (2, 0, 0)$ ， $n \cdot B E = 0$ ， $E (2, 2, 1)$ 。
2取平面内两个不共线向量： $A_{1} B = (2, 0, - 2)$ ， $B E = (0, 2, 1)$ 。
3设 $n = (x, y, z)$ ，由 $n \cdot A_{1} B = 0$ 得 $2 x - 2 z = 0$ ，即 $x = z$ ；由 $n \cdot B E = 0$ 得 $2 y + z = 0$ ，即 $y = - \frac{z}{2}$ 。
4取 $z = 2$ ，得 $n = (2, - 1, 2)$ 。（法向量不唯一，任意非零倍数均可。）

点评求法向量时给某个分量赋一个方便的值（通常取能消去分母的数），可大幅减少计算量。

#法向量#建系#空间向量

2022 年真题北京卷

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