已知 , 均为锐角， = 3 5 ， ( + )=- 5 13 ，则 = ＿＿＿＿＿＿。 63 65 两角和差公式拆角两角差象限判断湖北卷 2022

65 63 由 α 为锐角与 sin α = 5 3 得 cos α = 5 4 。由 α , β 均为锐角知 α + β ∈ ( 0 , π ) ，又 cos ( α + β ) < 0 ，故 α + β 为钝角， sin ( α + β ) = 13 12 。拆角： β = ( α + β ) − α ，故 sin β = sin ( α + β ) cos α − cos ( α + β ) sin α 。代入： 13 12 ⋅ 5 4 − ( − 13 5 ) ⋅ 5 3 = 65 48 + 65 15 = 65 63 。

高考数学考点题库/三角恒等变换/两角和差公式

2022 年湖北卷·第11题

填空题★★★★☆ 较难改编题通法

已知

α, β

均为锐角，

sin α = \frac{3}{5}

，

cos (α + β) = - \frac{5}{13}

，则

sin β =

＿＿＿＿＿＿。

答案

\frac{63}{65}

分步解析

1由 $α$ 为锐角与 $sin α = \frac{3}{5}$ 得 $cos α = \frac{4}{5}$ 。
2由 $α, β$ 均为锐角知 $α + β \in (0, π)$ ，又 $cos (α + β) < 0$ ，故 $α + β$ 为钝角， $sin (α + β) = \frac{12}{13}$ 。
3拆角： $β = (α + β) - α$ ，故 $sin β = sin (α + β) cos α - cos (α + β) sin α$ 。
4代入： $\frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5} - (- \frac{5}{13}) \cdot \frac{3}{5} = \frac{48}{65} + \frac{15}{65} = \frac{63}{65}$ 。

点评拆角是给值求值的灵魂：把要求的角写成已知角的和差，

β = (α + β) - α

是最常见的一种。

#拆角#两角差#象限判断

2022 年真题湖北卷

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