已知函数 f(x)= a x （ a>0 且 a 1 ）在 [2,4] 上的最大值与最小值之差为 1 ，则 a= ＿＿＿＿＿＿。 2 或 1 2 对数运算与对数函数对数函数最值分类讨论湖南卷 2022

2 或 2 1 对数函数在区间上单调，最值必在端点取得，两端点函数值之差的绝对值为 ∣ lo g a 4 − lo g a 2∣ 。化简得 lo g a 2 4 = ∣ lo g a 2∣ = 1 。故 lo g a 2 = 1 或 lo g a 2 = − 1 ，即 a = 2 或 a − 1 = 2 。解得 a = 2 或 a = 2 1 ，两者均满足 a > 0 , a  = 1 。

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2022 年湖南卷·第9题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

已知函数

f (x) = lo g_{a} x

（

a > 0

且

a \neq = 1

）在

[2, 4]

上的最大值与最小值之差为

1

，则

a =

＿＿＿＿＿＿。

答案

2

或

\frac{1}{2}

分步解析

1对数函数在区间上单调，最值必在端点取得，两端点函数值之差的绝对值为 $∣ lo g_{a} 4 - lo g_{a} 2∣$ 。
2化简得 $lo g_{a} \frac{4}{2} = ∣ lo g_{a} 2∣ = 1$ 。
3故 $lo g_{a} 2 = 1$ 或 $lo g_{a} 2 = - 1$ ，即 $a = 2$ 或 $a^{- 1} = 2$ 。
4解得 $a = 2$ 或 $a = \frac{1}{2}$ ，两者均满足 $a > 0, a \neq = 1$ 。

点评底数未给出与

1

的大小关系时，必须保留两种单调方向，只算

a > 1

会漏掉一半答案。

#对数函数#最值#分类讨论

2022 年真题湖南卷

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