指数函数与对数函数

1. 1定点与 $a$ 无关，需让指数为 $0$（因为 $a^0=1$ 对任意 $a$ 成立）。
2. 2令 $x-1=0$ 得 $x=1$，此时 $y=a^0+2=3$。
3. 3故定点为 $(1,3)$，选 A。

点评指数型定点看「指数为零」，对数型定点看「真数为一」，这是两条对偶的判断口诀。

1. 1设 $t=\lg 2$，则 $\lg 5=1-t$，$\lg 20=\lg (2\times 10)=1+t$。
2. 2代入得原式 $=(1-t)(1+t)+t^2$。
3. 3平方差展开：$1-t^2+t^2=1$。

点评常用对数题一律设 $t=\lg 2$，把 $\lg 5=1-t$、$\lg 20=1+t$ 全部化成 $t$ 的多项式，往往能整体消去。

1. 1提取指数：${\log }_{2}9={\log }_2{3}^2=2{\log }_{2}3$，${\log }_{3}4={\log }_3{2}^2=2{\log }_{3}2$。
2. 2两式相乘得 $4{\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2$。
3. 3由换底公式 ${\log }_{2}3\cdot {\log }_{3}2=1$（互为倒数），故原式 $=4$，选 B。

点评${\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}a=1$ 是对数运算里使用频率最高的结论。

1. 1先写定义域：真数为正，$x-1>0$，即 $x>1$。
2. 2把右边化为同底对数：$1={\log }_{2}2$，原不等式即 ${\log }_2(x-1)<{\log }_{2}2$。
3. 3底数 $2>1$，函数递增，去掉对数号得 $x-1<2$，即 $x<3$。
4. 4与定义域取交集得 $(1,3)$，选 A。

点评解对数不等式先写定义域，再同底化，最后按底数与 $1$ 的大小决定是否变号——三步缺一不可。

1. 1对数函数在区间上单调，最值必在端点取得，两端点函数值之差的绝对值为 $|{\log }_{a}4-{\log }_{a}2|$。
2. 2化简得 $\left|{\log }_a\frac{4}{2}\right|=|{\log }_{a}2|=1$。
3. 3故 ${\log }_{a}2=1$ 或 ${\log }_{a}2=-1$，即 $a=2$ 或 $a^{-1}=2$。
4. 4解得 $a=2$ 或 $a=\frac{1}{2}$，两者均满足 $a>0,a\ne 1$。

点评底数未给出与 $1$ 的大小关系时，必须保留两种单调方向，只算 $a>1$ 会漏掉一半答案。

1. 1统一换到以 $3$ 为底：${\log }_{12}18=\frac{{\log }_{3}18}{{\log }_{3}12}$。
2. 2分子：${\log }_{3}18={\log }_3(2\times 9)={\log }_{3}2+2=a+2$。
3. 3分母：${\log }_{3}12={\log }_3(4\times 3)=2{\log }_{3}2+1=2a+1$。
4. 4故 ${\log }_{12}18=\frac{a+2}{2a+1}$。

点评换底时统一选「已知量的底」，本题已知的是以 $3$ 为底，就全部换成底 $3$。

1. 1$a=2^{0.3}>2^0=1$，即 $a>1$。
2. 2$b=0.3^2=0.09\in (0,1)$。
3. 3$c={\log }_{2}0.3<{\log }_{2}1=0$，即 $c<0$。
4. 4故 $c<b<a$，选 B。

点评三个数比较大小，先用 $0$ 与 $1$ 做分界把它们分到不同区间，能解决绝大多数选择题。

1. 1由 $4^x=(2^x{)}^2=3^2=9$。
2. 2于是 $4^{-x}=\frac{1}{9}$。
3. 3求和：$9+\frac{1}{9}=\frac{82}{9}$。

1. 1$0.064=0.4^3$，故 $0.064^{-\frac{1}{3}}=0.4^{-1}=2.5$。
2. 2任何非零数的零次幂为 $1$，故第二项为 $1$。
3. 3$16=2^4$，$16^{\frac{3}{4}}=2^3=8$；$0.25=0.5^2$，$0.25^{\frac{1}{2}}=0.5$。
4. 4合计 $2.5-1+8+0.5=10$。

1. 1以 $c=\frac{1}{2}$ 为基准：$\frac{1}{2}={\log }_5\sqrt{5}$，而 $2<\sqrt{5}$，由 $y={\log }_{5}x$ 递增得 $a={\log }_{5}2<\frac{1}{2}$。
2. 2同理 $\frac{1}{2}={\log }_8\sqrt{8}={\log }_{8}2\sqrt{2}$，而 $3>2\sqrt{2}\approx 2.83$，故 $b={\log }_{8}3>\frac{1}{2}$。
3. 3所以 $a<c<b$，选 A。

点评与 $\frac{1}{2}$ 比较的标准动作：把 $\frac{1}{2}$ 写成同底对数 ${\log }_a\sqrt{a}$，再比真数大小。