2022 年湖南卷·第20题

分步解析

1. 1（1）求导：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x=x{\mathrm{e}}^x$。
2. 2因 ${\mathrm{e}}^x>0$，$f^{\prime }$ 的符号与 $x$ 相同：$x<0$ 时递减，$x>0$ 时递增。
3. 3（2）在 $[0,2]$ 上，由（1）知 $f$ 单调递增，最值必在端点取得。
4. 4$f(0)=(0-1){\mathrm{e}}^0=-1$ 为最小值，$f(2)=(2-1){\mathrm{e}}^2={\mathrm{e}}^2$ 为最大值。