导数与单调性 极值最值

1. 1求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-3a$。
2. 2极值点处导数为零：$f^{\prime }(1)=3-3a=0$，解得 $a=1$。
3. 3回代检验是否变号：此时 $f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，在 $x=1$ 左侧为负、右侧为正，确为极小值点。
4. 4故 $a=1$。

点评$f^{\prime }(x_0)=0$ 只是取极值的必要条件，求出参数后必须回代检验导数是否变号；若出现 $f^{\prime }(x)=3(x-1{)}^2$ 这类不变号的情形，该参数应舍去。

1. 1定义域为 $(0,+\infty )$，求导：$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$。
2. 2在 $(0,1)$ 上 $f^{\prime }<0$ 递减，在 $(1,+\infty )$ 上 $f^{\prime }>0$ 递增。
3. 3故 $x=1$ 处取极小值，也是最小值：$f(1)=1-\ln 1=1$。

点评$x\ge 1+\ln x$ 正是由本题结论得到的常用放缩式，导数压轴题里经常直接引用。

1. 1定义域为 $(0,+\infty )$（对数要求 $x>0$）。
2. 2求导：$f^{\prime }(x)=2x-\frac{2}{x}=\frac{2(x^2-1)}{x}=\frac{2(x-1)(x+1)}{x}$。
3. 3在定义域内 $x>0$，$x+1>0$，故 $f^{\prime }$ 的符号由 $x-1$ 决定。
4. 4$x>1$ 时 $f^{\prime }>0$，递增区间为 $(1,+\infty )$，选 B。

点评含对数的函数求单调区间，第一步永远是写定义域，否则会把 $(-\infty ,-1)$ 这种区间误判为答案。

1. 1求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)$。
2. 2令 $f^{\prime }(x)<0$：$3x(x-2)<0$，开口向上取「中间」。
3. 3解得 $0<x<2$，故单调递减区间为 $(0,2)$，选 B。

点评单调区间必须写成区间形式且不能用并集连接两个分离的减区间，这是解答题的规范扣分点。

1. 1（1）求导：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+(x-1){\mathrm{e}}^x=x{\mathrm{e}}^x$。
2. 2因 ${\mathrm{e}}^x>0$，$f^{\prime }$ 的符号与 $x$ 相同：$x<0$ 时递减，$x>0$ 时递增。
3. 3（2）在 $[0,2]$ 上，由（1）知 $f$ 单调递增，最值必在端点取得。
4. 4$f(0)=(0-1){\mathrm{e}}^0=-1$ 为最小值，$f(2)=(2-1){\mathrm{e}}^2={\mathrm{e}}^2$ 为最大值。

1. 1求导：$f^{\prime }(x)={\mathrm{e}}^x+x{\mathrm{e}}^x=(x+1){\mathrm{e}}^x$。
2. 2因 ${\mathrm{e}}^x>0$，$f^{\prime }$ 的符号由 $x+1$ 决定：$x<-1$ 时递减，$x>-1$ 时递增。
3. 3故 $x=-1$ 处取极小值 $f(-1)=-{\mathrm{e}}^{-1}=-\frac{1}{\mathrm{e}}$。

1. 1定义域为 $(0,+\infty )$，求导：$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-a=\frac{1-ax}{x}$。因 $x>0$，$f^{\prime }$ 的符号由分子 $1-ax$ 决定。
2. 2当 $a\le 0$ 时，$-ax\ge 0$，故 $1-ax>0$ 恒成立，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。
3. 3当 $a>0$ 时，令 $1-ax=0$ 得 $x=\frac{1}{a}>0$，落在定义域内，需分段讨论。
4. 4在 $\left(0,\frac{1}{a}\right)$ 上 $1-ax>0$，$f^{\prime }>0$，$f$ 递增；在 $\left(\frac{1}{a},+\infty \right)$ 上 $f^{\prime }<0$，$f$ 递减。
5. 5综上即得结论。

点评含参讨论要先写清「分类依据」：本题的依据是导函数零点 $\frac{1}{a}$ 是否落在定义域 $(0,+\infty )$ 内。

1. 1单调递增等价于 $f^{\prime }(x)=3x^2+a\ge 0$ 对一切 $x\in \mathbf{R}$ 恒成立。
2. 2分离参数：$a\ge -3x^2$ 对一切 $x$ 成立，即 $a\ge \max (-3x^2)=0$。
3. 3验证 $a=0$：$f(x)=x^3$ 在 $\mathbf{R}$ 上确实单调递增（导数仅在一点为零，不影响单调性）。
4. 4故 $a\ge 0$，选 B。

点评单调递增允许导数在孤立点等于零，所以取的是「$f^{\prime }\ge 0$」而不是「$f^{\prime }>0$」，等号能否取到需回代验证。

1. 1求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，极值点为 $x=\pm 1$，均在区间内。
2. 2计算所有候选点的函数值：$f(-2)=-8+6=-2$，$f(-1)=-1+3=2$，$f(1)=1-3=-2$，$f(3)=27-9=18$。
3. 3取其中最大者：最大值为 $f(3)=18$。

点评闭区间最值 = 「所有极值点 + 两个端点」的函数值中取最大最小，端点绝不能漏。

1. 1求导：$f^{\prime }(x)=x^2-ax+2$。
2. 2由 $f^{\prime }(2)=0$ 得 $4-2a+2=0$，解得 $a=3$。
3. 3回代检验：$f^{\prime }(x)=x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$，在 $(1,2)$ 上为负，在 $(2,+\infty )$ 上为正，$x=2$ 两侧由负变正，确为极小值点。
4. 4极小值 $f(2)=\frac{8}{3}-6+4=\frac{2}{3}$。

点评解答题必须写出「回代检验导数变号」这一步，否则即使 $a$ 求对也会被扣分。

1. 1求导：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，在 $(-1,1)$ 上为负，A 对。
2. 2$x=-1$ 为极大值点：$f(-1)=-1+3=2$，B 对。
3. 3$x=1$ 为极小值点：$f(1)=1-3=-2$，C 对。
4. 4极大值 $2>0$、极小值 $-2<0$，二者异号，故有三个零点，D 对。
5. 5故选 ABCD。

点评三次函数的零点个数看「极大值 × 极小值」的符号：本题乘积为 $-4<0$，因此恰有三个零点。