2022 年山东卷·第12题

分步解析

1. 1零点即 $2^x=x^2$，看两条曲线的交点。
2. 2在 $x>0$ 上：$x=2$ 与 $x=4$ 都满足（$4=4$，$16=16$），已得两个交点。
3. 3在 $x<0$ 上：$y=2^x\in (0,1)$ 且递减，$y=x^2$ 递减到 $0$ 再看区间 $(-1,0)$ 内 $x^2<1$；由 $f(-1)=\frac{1}{2}-1<0$、$f(0)=1>0$ 知在 $(-1,0)$ 内有一个交点。
4. 4$x<-1$ 时 $x^2>1>2^x$ 恒成立，无交点。故共 $3$ 个零点。