函数与方程 零点问题

1. 1画 $y=|\ln x|$ 的图象：在 $(0,1)$ 上为 $-\ln x$ 单调递减且趋于 $+\infty$，在 $(1,+\infty )$ 上为 $\ln x$ 单调递增且趋于 $+\infty$，最低点为 $(1,0)$。
2. 2水平线 $y=k$ 与该「V 形」曲线的交点个数：$k<0$ 时无交点，$k=0$ 时恰一个交点（$x=1$）。
3. 3$k>0$ 时左右两支各有一个交点，共两个。
4. 4故 $k>0$，即 $k\in (0,+\infty )$。

1. 1求导定形状：$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$，故 $f$ 在 $(-\infty ,-1)$ 增、$(-1,1)$ 减、$(1,+\infty )$ 增。
2. 2极大值 $f(-1)=-1+3+a=a+2$，极小值 $f(1)=1-3+a=a-2$。
3. 3三个零点要求极大值为正、极小值为负：$a+2>0$ 且 $a-2<0$。
4. 4解得 $-2<a<2$，选 A。

点评三次函数零点个数完全由「极大值×极小值」的符号决定：乘积为负三个零点，为零两个，为正一个。

1. 1令 $f(x)=x^2-2mx+m+2$，开口向上，「两根都大于 $1$」等价于三个条件同时成立。
2. 2判别式非负（有两根）：$\Delta =4m^2-4(m+2)\ge 0$，即 $m^2-m-2\ge 0$，得 $m\le -1$ 或 $m\ge 2$。
3. 3对称轴在 $1$ 的右侧：$x=m>1$。
4. 4端点函数值为正（$1$ 在两根左侧）：$f(1)=1-2m+m+2=3-m>0$，即 $m<3$。
5. 5三者取交集：$m\ge 2$ 且 $m<3$，即 $2\le m<3$，选 A。

点评根的分布三件套：判别式、对称轴位置、端点函数值符号。三个条件必须同时写全，漏掉任何一个都会扩大范围。

1. 1$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上由 $\ln x$ 与 $x$ 相加而成，二者均递增，故 $f$ 单调递增，零点至多一个。
2. 2计算端点符号：$f(1)=0+1-2=-1<0$。
3. 3$f(2)=\ln 2+0=\ln 2\approx 0.69>0$。
4. 4由零点存在定理，$f$ 在 $(1,2)$ 内有零点，选 B。

点评用零点存在定理必须同时说明「连续」与「端点异号」；再补一句单调递增，就能把「有零点」升级为「有唯一零点」。

1. 1零点即 $2^x=x^2$，看两条曲线的交点。
2. 2在 $x>0$ 上：$x=2$ 与 $x=4$ 都满足（$4=4$，$16=16$），已得两个交点。
3. 3在 $x<0$ 上：$y=2^x\in (0,1)$ 且递减，$y=x^2$ 递减到 $0$ 再看区间 $(-1,0)$ 内 $x^2<1$；由 $f(-1)=\frac{1}{2}-1<0$、$f(0)=1>0$ 知在 $(-1,0)$ 内有一个交点。
4. 4$x<-1$ 时 $x^2>1>2^x$ 恒成立，无交点。故共 $3$ 个零点。

点评$2^x$ 与 $x^2$ 的三个交点 $x=2,4$ 与一个负根，是指数与幂函数增长速度对比的经典例证。

1. 1零点即方程 ${\mathrm{e}}^x=ax$ 的根。显然 $x=0$ 不是根（否则 $1=0$），故可分离参数：$a=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$。
2. 2令 $g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$，$g^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(x-1)}{x^2}$，故 $g$ 在 $(0,1)$ 减、$(1,+\infty )$ 增，极小值 $g(1)=\mathrm{e}$。
3. 3在 $x<0$ 时 $g(x)<0$ 且单调递减，至多提供一个交点；要出现两个交点只能落在 $x>0$ 的分支上。
4. 4水平线 $y=a$ 与 $x>0$ 分支有两个交点当且仅当 $a>\mathrm{e}$，选 B。

点评分离参数把「零点个数」变成「水平线与曲线的交点个数」，是这类题的通法；关键是要讨论清楚曲线的每一支。

1. 1$f$ 为多项式函数，在 $\mathbf{R}$ 上连续；$f^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ 说明它单调递增，零点唯一。
2. 2计算 $f(0)=-1<0$，$f(1)=1+1-1=1>0$，端点异号。
3. 3由零点存在定理，零点落在 $(0,1)$ 内，选 B。

1. 1把方程看成两条曲线 $y=2^x$ 与 $y=-x+3$ 的交点个数。
2. 2$y=2^x$ 单调递增，$y=-x+3$ 单调递减，二者至多有一个交点。
3. 3令 $h(x)=2^x+x-3$，$h(1)=2+1-3=0$，恰有一个实根 $x=1$。
4. 4故实根个数为 $1$，选 B。

点评一增一减必至多一个交点，这一句能把「个数问题」瞬间化简，剩下的只需找到一个具体根。

1. 1设切点为 $(x_0,\ln x_0)$，由 $y^{\prime }=\frac{1}{x}$ 得切线斜率 $k=\frac{1}{x_0}$。
2. 2切点在直线上：$\ln x_0=k{x}_0=\frac{1}{x_0}\cdot x_0=1$。
3. 3故 $x_0=\mathrm{e}$，从而 $k=\frac{1}{\mathrm{e}}$，选 C。

点评相切问题的两个方程缺一不可：斜率相等、切点公有。$y=\frac{x}{\mathrm{e}}$ 与 $y=\ln x$ 相切是必须记住的经典位置关系。

1. 1逐段统计根的个数。当 $x\le 0$ 时 $y=x+2$ 单调递增，值域为 $(-\infty ,2]$，故 $k\le 2$ 时该段恰有一根 $x=k-2$，$k>2$ 时无根。
2. 2当 $x>0$ 时 $y=\ln x$ 单调递增，值域为 $\mathbf{R}$，故对任意 $k$ 该段恰有一根 $x={\mathrm{e}}^k$。
3. 3两段的根个数相加：$k\le 2$ 时为 $1+1=2$，$k>2$ 时为 $0+1=1$。
4. 4故恰有两根当且仅当 $k\le 2$，即 $k\in (-\infty ,2]$。

点评分段函数的方程根个数问题，务必逐段画出图象并标注值域端点是否可取。