2020 年天津卷·第14题

分步解析

1. 1逐段统计根的个数。当 $x\le 0$ 时 $y=x+2$ 单调递增，值域为 $(-\infty ,2]$，故 $k\le 2$ 时该段恰有一根 $x=k-2$，$k>2$ 时无根。
2. 2当 $x>0$ 时 $y=\ln x$ 单调递增，值域为 $\mathbf{R}$，故对任意 $k$ 该段恰有一根 $x={\mathrm{e}}^k$。
3. 3两段的根个数相加：$k\le 2$ 时为 $1+1=2$，$k>2$ 时为 $0+1=1$。
4. 4故恰有两根当且仅当 $k\le 2$，即 $k\in (-\infty ,2]$。