2022 年新课标I卷·第11题

分步解析

1. 1零点即方程 ${\mathrm{e}}^x=ax$ 的根。显然 $x=0$ 不是根（否则 $1=0$），故可分离参数：$a=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$。
2. 2令 $g(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x}{x}$，$g^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^x(x-1)}{x^2}$，故 $g$ 在 $(0,1)$ 减、$(1,+\infty )$ 增，极小值 $g(1)=\mathrm{e}$。
3. 3在 $x<0$ 时 $g(x)<0$ 且单调递减，至多提供一个交点；要出现两个交点只能落在 $x>0$ 的分支上。
4. 4水平线 $y=a$ 与 $x>0$ 分支有两个交点当且仅当 $a>\mathrm{e}$，选 B。