函数 f(x)=x+ 1 x-1 （ x>1 ）的最小值为＿＿＿＿＿＿。 3 定义域与值域值域基本不等式配凑天津卷 2022

3 配凑： f ( x ) = ( x − 1 ) + x − 1 1 + 1 ，其中 x − 1 > 0 。由基本不等式 ( x − 1 ) + x − 1 1 ≥ 2 ，故 f ( x ) ≥ 3 。当 x − 1 = x − 1 1 即 x = 2 时取等，此时 f ( 2 ) = 2 + 1 = 3 。最小值为 3 。

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2022 年天津卷·第12题

填空题★★★☆☆ 中档改编题通法

函数

f (x) = x + \frac{1}{x - 1}

（

x > 1

）的最小值为＿＿＿＿＿＿。

答案

3

分步解析

1配凑： $f (x) = (x - 1) + \frac{1}{x - 1} + 1$ ，其中 $x - 1 > 0$ 。
2由基本不等式 $(x - 1) + \frac{1}{x - 1} \geq 2$ ，故 $f (x) \geq 3$ 。
3当 $x - 1 = \frac{1}{x - 1}$ 即 $x = 2$ 时取等，此时 $f (2) = 2 + 1 = 3$ 。
4最小值为 $3$ 。

#值域#基本不等式#配凑

2022 年真题天津卷

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