2022 年新高考I卷·第7题

分步解析

1. 1先比 $a$ 与 $c$：构造 $f(x)=x{\mathrm{e}}^x+\ln (1-x)$，$x\in (0,1)$，则 $a-c=f(0.1)$。
2. 2求导得 $f^{\prime }(x)=(x+1){\mathrm{e}}^x-\frac{1}{1-x}=\frac{(1-x^2){\mathrm{e}}^x-1}{1-x}$。令 $g(x)=(1-x^2){\mathrm{e}}^x-1$，则 $g^{\prime }(x)=(1-2x-x^2){\mathrm{e}}^x$，在 $(0,\sqrt{2}-1)$ 上为正，故 $g$ 先增；又 $g(0)=0$，所以在 $(0,0.1]$ 上 $g(x)>0$，从而 $f^{\prime }(x)>0$，$f(0.1)>f(0)=0$，得 $a>c$。
3. 3再比 $a$ 与 $b$：$a<b$ 等价于 $0.1{\mathrm{e}}^{0.1}<\frac{1}{9}$，即 ${\mathrm{e}}^{0.1}<\frac{10}{9}$，两边取对数即 $0.1<\ln \frac{10}{9}=-\ln 0.9=c$。
4. 4由 $\ln (1+x)>\frac{x}{1+x}$（$x>0$）取 $x=\frac{1}{9}$ 得 $\ln \frac{10}{9}>\frac{1/9}{10/9}=0.1$，故 $a<b$ 成立。
5. 5综上 $c<a<b$，选 C。