2023 年湖北卷·第12题

分步解析

1. 1设 $l$ 与 $y=\ln x$ 相切于 $(a,\ln a)$，则斜率 $k=\frac{1}{a}$，切线为 $y=\frac{1}{a}(x-a)+\ln a=\frac{x}{a}+\ln a-1$。
2. 2设 $l$ 与 $y=\frac{1}{4}{x}^2$ 相切于 $(b,\frac{b^2}{4})$，则 $k=\frac{b}{2}$，切线为 $y=\frac{b}{2}x-\frac{b^2}{4}$。
3. 3两式为同一条直线，比较系数：$\frac{1}{a}=\frac{b}{2}$ 且 $\ln a-1=-\frac{b^2}{4}$。
4. 4由第一式 $b=\frac{2}{a}$，代入第二式得 $\ln a-1=-\frac{1}{a^2}$。观察知 $a=1$ 满足（左边 $-1$，右边 $-1$）。
5. 5此时 $k=1$，切线为 $y=x-1$。